数列超难的.docx

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数列超难的

2014年1月cyyaonan8713329的高中数学组卷

2014年1月cyyaonan8713329的高中数学组卷

一．解答题（共27小题）

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：

，求数列{an}的通项．

2．（2010•门头沟区一模）若数列{an}（n∈N*）满足：

（1）an≥0；

（2）an﹣2an+1+an+2≥0；

（3）a1+a2+…+an≤1，则称数列{an}为“和谐”数列．

（Ⅰ）验证数列{an}，{bn}，其中，是否为“和谐”数列；

（Ⅱ）若数列{an}为“和谐”数列，证明：

．

3．（2010•湖北模拟）对于给定数列{cn}，如果存在实常数p、q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”；

（1）若an=2n，数列{an}是否为“M类数列”？

若是，指出它对应的实常数p、q，若不是，请说明理由；

（2）数列{an}满足a1=2，an+an+1=3•2n（n∈N*），若数列{an}是“M类数列”，求数列{an}的通项公式；

（3）记数列{an}的前n项之和为Sn，求证：

（n≥3）．

4．（2008•浙江）已知数列{an}，an≥0，a1=0，an+12+an+1﹣1=an2（n∈N•）．记Sn=a1+a2+…+an．．

求证：

当n∈N•时，

（Ⅰ）an＜an+1；

（Ⅱ）Sn＞n﹣2．

5．已知曲线f（x）=（x＞0）上有一点列Pn（xn，yn）（n∈N*），点Pn在x轴上的射影是Qn（xn，0），且xn=2+1（n∈N*），x1=1．

（1）求数列{xn}的通项公式；

（2）设四边形PnQnQn+1Pn+1的面积是Sn，求证：

＜4．

6．已知正项数列{an}满足：

an+1=（an+）（n∈N+）．

（1）求a1的范围，使得an+1＜an恒成立；

（2）若a1=，证明an＜1+（n∈N+，n≥2）；

（3）（理）若a1=，证明：

+++…+﹣n＜+1．

7．已知无穷数列{an}为等差数列，各项均为正数，给出方程aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）．

（1）求证这些方程有一个公共根为﹣1；

（2）设这些方程除公共根以外的另一根为αi，且f（n）=（α1+1）（α2+1）+（α2+1）（α3+1）+…+（αn+1）（αn+1+1）．求证：

f（n）＜．（其中d为数列{an}的公差）

8．已知数列{an}中，a1=1，，且（n=2，3，4，…）．

（1）求a3、a4的值；

（2）设（n∈N*），试用bn表示bn+1并求{an}的通项公式；

（3）求证：

对一切n∈N*且n≥2，有．

9．已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3•2n﹣1（n≥2）．

（1）求a2，a3；

（2）求an的通项公式；

（3）对于n∈N*有＜=2（﹣），证明：

++…+＜（n≥1）

10．已知α为锐角，且，函数，数列{an}的首项．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）求证：

an+1＞an；

（3）求证：

．

11．（2010•顺义区二模）在数列{an}、{bn}中，已知a1=6，b1=4，且bn、an、bn+1成等比数列，an、bn+1、an+1成等差数列，（n∈N+）

（Ⅰ）求a2、a3、a4及b2、b3、b4，由此猜想{an}、{bn}的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：

．

12．已知：

正数数列an中，若关于x的方程有相等的实根

（1）若a1=1，求a2，a3的值；并证明

（2）若a1=a，bn=an﹣（3n﹣12）•2n，求使bn+1≥bn对一切n∈N+都成立的a的取值范围．

13．（2011•天津）已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．

（Ⅰ）求a2，a3的值

（Ⅱ）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{cn}是等比数列

（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）

14．设数列{an}满足：

当n=2k﹣1（k∈N*）时，an=n；当n=2k（k∈N*）时，an=ak；记

（1）求s3；

（2）证明：

sn=4n﹣1+sn﹣1（n≥2）

（3）证明：

．

15．（2013•广州三模）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0和2．

（1）试求b、c满足的关系式．

（2）若c=2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn•f（）=1，求证：

＜＜．

（3）设bn=﹣，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：

T2009﹣1＜ln2009＜T2008．

16．已知函数，无穷数列{an}满足an+1=f（an）（n∈N*）．

（1）求a1的值使得{an}为常数列；

（2）若a1＞2，证明：

an＞an+1；

（3）若a1=3，求证：

．

17．（2008•佛山一模）数列{an}满足a1=，an+1=．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，证明Sn＜n﹣ln（）．

18．（2008•广州二模）已知函数f（x）=（x＞0）

（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）•f（x2）=1时，求证：

x1•x2≥3+2

（2）若数列{an}满足a1=1an＞0an+1=f（an）（n∈N*）求数列{an}的通项公式．

19．（2008•广州一模）已知函数f（x）=ex﹣x（e为自然对数的底数）．

（1）求函数f（x）的最小值；

（2）若n∈N*，证明：

．

20．（2008•广州一模）已知数列{an}中，a1=5且an=2an﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N+）

（1）求a2，a3的值；

（2）是否存在实数λ，使得数列为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

21．（2008•深圳二模）已知首项为1的数列{an}满足：

对任意正整数n，都有：

，其中c是常数．

（Ⅰ）求实数c的值；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）设数列的前n项和为Sn，求证：

S2n﹣1＞S2m，其中m，n∈N*．

22．（2012•南京一模）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：

圆C过定点．

23．（2013•宁德模拟）已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（a∈R）•

（I）当a＞0时，求函数．f（x）=f1（x）•f2（x）的极值；

（II）若存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，求实数a的取值范围；

（III）求证：

当x＞0时，lnx+﹣＞0．

（说明：

e为自然对数的底数，e=2.71828…）

24．设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，B（0，﹣1）．

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且，求λ的值；

（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．

25．设a为非负实数，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．

（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．

26．（2011•海珠区一模）已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C上的动点P引圆O：

x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27．（2011•珠海二模）函数f（x）=x2﹣（1+）x+lnx，a∈R．

（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；

（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；

（3）g（x）=b2x2﹣3x+ln2，当a=2，1＜x＜3时，g（x）＞f（x）恒有解，求b的取值范围．

2014年1月cyyaonan8713329的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共27小题）

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：

，求数列{an}的通项．

考点：

数列递推式．4216428

专题：

计算题；等差数列与等比数列．

分析：

由得当n≥2时，两式相减，得出数列的递推公式，再根据递推公式去推证数列的性质，求解通项．

解答：

解：

由

得①，

当n≥2②，

①﹣②得an=，化简整理得出

（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0

由已知，Sn＞0，所以an＞0，an+an﹣1≠0，

an﹣an﹣1﹣2=0，由等差数列的定义可知数列{an}是以2为公差的等差数列，

在中，令n=1，得2，解得a1=1，

所以数列{an}的通项an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1

点评：

本题考查数列的递推公式，通项公式．考查转化构造，推理论证，运算求解能力．

2．（2010•门头沟区一模）若数列{an}（n∈N*）满足：

（1）an≥0；

（2）an﹣2an+1+an+2≥0；

（3）a1+a2+…+an≤1，则称数列{an}为“和谐”数列．

（Ⅰ）验证数列{an}，{bn}，其中，是否为“和谐”数列；

（Ⅱ）若数列{an}为“和谐”数列，证明：

．

考点：

归纳推理；数列的应用；反证法．4216428

专题：

证明题．

分析：

本题考查的是演绎推理，要判断一个数列是否是“和谐”数列，关键是要看这个数列是否符号“和谐”数列的定义．

（1）中要判断数列{an}（或{bn}）是否为和谐数列，则要判断①an≥0（或bn≥0）②an﹣2an+1+an+2≥0（或bn﹣2bn+1+bn+2≥0）③a1+a2+…+an≤1（或b1+b2+…+bn≤1）三个条件，如果全部符合，则为“和谐数列”对于

（2）直接证明有难度，可以使用反证法来证明，即若若an﹣an+1≥0不恒成立，则数列{an}不为“和谐”数列，这与已知相矛盾，从而得到结论恒成立．

解答：

解：

（Ⅰ）数列{an}为“和谐”数列；数列{bn}不是“和谐”数列．

数列{an}显然符合

（1）

因为所以符合

（2）

因为，所以符合（3）

所以数列{an}为“和谐”数列．

对于数列{bn}，有bn＞0，

所以数列{bn}不满足（3），因此数列{bn}不是“和谐”数列．

（Ⅱ）反证法：

若an﹣an+1≥0不恒成立，即存在自然数k，ak﹣ak+1＜0，ak+1＞ak，

由

（2）可知，ak+2﹣ak+1≥ak+1﹣ak＞0，得ak+2＞ak+1，

依此类推当n≥k时，{an}递增，与对任意n，与a1+a2++an≤1矛盾，

所以an﹣an+1≥0

构造数列{bn}，令bn=an﹣an+1

由

（2）可知an﹣an+1≥an+1﹣an+2，∴bn≥bn+1，a1+a2++an=a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）++[﹣（n﹣1）an+nan]≥a1+（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）++[﹣（n﹣1）an+nan]﹣nan+1

=（a1﹣a2）+2（a2﹣a3）++n（an﹣an+1）=b1+2b2++nbn≥（1+2++n）bn

=，

由（3）知

得：

即：

，所以

点评：

演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：

若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．当我们从正面证明一个结