合情推理与演绎推理教案绝对经典.docx

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合情推理与演绎推理教案绝对经典

第十一章推理与证明、算法、复数

第1节　合情推理与演绎推理

【最新考纲】　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

【高考会这样考】　1.从近几年的高考来看，高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档为主；2.演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题．

要点梳理

1.合情推理

类型

定义

特点

归纳推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理

由部分到整体、由个别到一般

类比推理

根据两类事物之间具有某些类似（一致）性，推测一类事物具有另一类事物类似（或相同）的性质的推理

由特殊到特殊

2.演绎推理

（1）定义：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.

（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.

基础自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.（　　）

（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.（　　）

（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.（　　）

（4）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.（　　）

解析　

（1）类比推理的结论不一定正确.

（3）平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适.

（4）演绎推理是在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确.

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

2.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于（　　）

A.28B.32C.33D.27

解析　5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，

推出x－20＝12，所以x＝32.

答案　B

3.正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数，以上推理（　　）

A.结论正确B.大前提不正确

C.小前提不正确D.全不正确

解析　f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数，所以小前提不正确.

答案　C

4.观察下列式子：

<2，＋<，＋＋<8，＋＋＋<，…，根据以上规律，第n（n∈N*）个不等式是______________________.

解析　根据所给不等式可得第n个不等式是＋＋…＋<.

答案　＋＋…＋<

5.在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n＜19，n∈N*）成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3…bn＝________.

答案　b1b2b3…b17－n（n＜17，n∈N*）

题型分类深度解析

考点一　归纳推理

【例1】

（1）所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、完美数），如6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248，…，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6＝21＋22，28＝22＋23＋24，…，按此规律，8128可表示为_____________.

（2）（2018·济宁模拟）已知ai>0（i＝1，2，3，…，n），观察下列不等式：

≥；

≥；

≥；

……

照此规律，当n∈N*，n≥2时，≥________.

解析　

（1）由题意，如果2n－1是质数，则2n－1（2n－1）是完全数，例如：

6＝21＋22＝21（22－1），28＝22＋23＋24＝22（23－1），…；若2n－1（2n－1）＝8128，解得n＝7，所以8128可表示为26（27－1）＝26＋27＋…＋212.

（2）根据题意有≥（n∈N*，n≥2）.

答案　

（1）26＋27＋…＋212　

（2）

规律方法　归纳推理问题的常见类型及解题策略

（1）与数字有关的等式的推理.观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.

（2）与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解.

（3）与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可.

（4）与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性.

【变式练习1】

（1）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列{an}，那么a10的值为（　　）

A.45B.55C.65D.66

（2）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数　　N（n，3）＝n2＋n，

正方形数N（n，4）＝n2，

五边形数N（n，5）＝n2－n，

六边形数N（n，6）＝2n2－n

……

可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）＝______.

解析　

（1）第1个图中，小石子有1个，

第2个图中，小石子有3＝1＋2个，

第3个图中，小石子有6＝1＋2＋3个，

第4个图中，小石子有10＝1＋2＋3＋4个，

……

故第10个图中，小石子有1＋2＋3＋…＋10＝＝55个，即a10＝55.

（2）三角形数　N（n，3）＝n2＋n＝，

正方形数　N（n，4）＝n2＝，

五边形数　N（n，5）＝n2－n＝，

六边形数　N（n，6）＝2n2－n＝，

k边形数　N（n，k）＝，

所以N（10，24）＝＝＝1000.

答案　

（1）B　

（2）1000

考点二　类比推理

【例2】

（1）（一题多解）若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（　　）

A.dn＝B.dn＝

C.dn＝D.dn＝

（2）祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出了一条原理：

“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：

两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆＋＝1（a>b>0）所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体）（如图），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________.

解析　

（1）法一　从商类比开方，从和类比积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.

法二　若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋（n－1）＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.

（2）椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2（V圆柱－V圆锥）＝2＝πb2a.

答案　

（1）D　

（2）πb2a

规律方法　1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.

2.类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.

【变式练习2】

（1）我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定出来x＝2，类似地不难得到1＋＝（　　）

A.B.

C.D.

（2）如图

（1）所示，点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则＋＋＝1，类比猜想：

点O是空间四面体VBCD内的任意一点，如图

（2）所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，则有________________.

解析　

（1）令1＋＝x（x>0），即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝（x＝舍），故1＋＝，故选C.

（2）利用类比推理，猜想应有＋＋＋＝1.

用“体积法”证明如下：

＋＋＋＝＋＋＋＝＝1.

答案　

（1）C　

（2）＋＋＋＝1

考点三　演绎推理

【例3】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n∈N*）.证明：

（1）数列是等比数列；

（2）Sn＋1＝4an.

证明　

（1）∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

∴（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），

即nSn＋1＝2（n＋1）Sn.

∴＝2·，又＝1≠0，（小前提）

故是以1为首项，2为公比的等比数列.（结论）

（大前提是等比数列的定义，这里省略了）

（2）由

（1）可知＝4·（n≥2），

∴Sn＋1＝4（n＋1）·＝4··Sn－1

＝4an（n≥2），（小前提）

又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，（小前提）

∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.（结论）

（第

（2）问的大前提是第

（1）问的结论以及题中的已知条件）

规律方法　演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略.

【变式练习3】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：

你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（　　）

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

解析　由甲说：

“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”.乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩、丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩.

答案　D

课后练习

A组（时间：

30分钟）

一、选择题

1.观察一列算式：

1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第（　　）

A.22项B.23项C.24项D.25项

解析　两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.

答案　C

2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（　　）