92总体百分位数的估计Word下载.docx
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C.它一定是这组数据中的一个数据
D.它适用于总体是离散型的数据
解析由百分位数的意义可知选项B，C，D错误.
答案A
［微思考］
1.班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？
提示不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比.
2.“这次数学测试成绩的第70百分位数是85分”这句话是什么意思?
提示有70%的同学数学测试成绩小于或等于85分.
课皇旦功IS9WII
1■
题型一百分位数的计算
【例1】从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单
位：
g）如下：
7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
⑴分别求出这组数据的第25，50,95百分位数；
（2）请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
（3）若用第25，50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品
和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.
解
（1）将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9,9.0，9.9,
因为共有12个数据，所以12X25%=3，12X50%=6，12X95%=11.4,
80亠83则第25百分位数是8；
=8.15,
85+85
第50百分位数是：
=8.5,
第95百分位数是第12个数据为9.9.
（2）因为共有12个数据，所以12X15%=1.8,则第15百分位数是第2个数据为
7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.
⑶由
（1）可知样本数据的第25百分位数是8.15g,第50百分位数为8.5g,第95百分位数是9.9g,所以质量小于或等于8.15g的珍珠为次品，质量大于8.15g且小于或等于8.5g的珍珠为合格品，质量大于8.5g且小于或等于9.9g的珍珠为优等品，质量大于9.9g的珍珠为特优品.
规律方法计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：
（1）排列：
按照从小到大排列原始数据；
⑵算i:
计算i=nXp%；
（3）定数：
若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据;
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数•
【训练1】如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：
C）的情况
绘制的折线统计图，由图可知这
10天最低气温的第80百分位数是（
I）I2JS7BUlphlJ）
A.-2B.OC.1D.2
解析由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：
一3，—2，—
1，-1,0,0,1,2,2,2，
因为共有10个数据，所以10X80%=8,是整数，则这10天最低气温的第80百
2+2
分位数是于二2.
答案D
题型二百分位数的综合应用
【探究1】第p百分位数有什么特点？
提示总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p%.
【探究2】某组数据的第p百分位数在此组数据中一定存在吗？
为什么？
提示不一定•因为按照计算第p百分位数的步骤，第2步计算所得的i=nxp%如果是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数，若第i项与第（i+1）项数据不相等，则第p百分位数在此组数据中就不存在•
【探究3】某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居
民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.
（1）求某户居民用电费用y（单位：
元）关于月用电量x（单位：
千瓦时）的函数解析式；
⑵为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图•若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；
（3）根据
（2）中求得的数据计算用电量的75%分位数.
解⑴当0Wx<
200时，y=0.5x;
当200<
xW400时，
y=0.5X200+0.8X（x-200）=0.8x—60;
当x>
400时，
y=0.5X200+0.8X200+1.0X（x—400）=x—140.
所以y与x之间的函数解析式为
0.5x，0<
x<
200，
y=0.8x—60，200<
400，
x—140，x>
400.
⑵由⑴可知，当y=260时，x=400，即用电量低于400千瓦时的占80%，
结合频率分布直方图可知
0.001X100+2X100b+0.003X100=0.8,
100a+0.0005X100=0.2，
解得a=0.0015,b=0.0020.
⑶设75%分位数为m,
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为
（0.001+0.002+0.003）X100=60%，
用电量低于400千瓦时的占80%，
所以75%分位数m在［300，400）内，
所以0.6+（m—300）X0.002=0.75,
解得m=375（千瓦时），即用电量的75%分位数为375千瓦时.
规律方法由频率分布直方图求百分位数的方法
（1）要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率.
⑵一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可.
【训练2】某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年
龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上
为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组（第一组：
［20，25），第二组：
［25，30），第三组：
［30，35），第四组：
［35，40），第五组：
［40，45］），得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人.
（1）求x;
⑵求抽取的x人的年龄的50%分位数（结果保留整数）；
⑶以下是参赛的10人的成绩：
90，96，97，95，92，92，98，88，96，99,求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.
解⑴第一组频率为0.01X5=0.05，
5
所以x==100.
0.05
⑵由图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%，所以抽取的x人的年龄的50%分位数在［30,35）内，由30+5X豎-弩二弓〜32,
0.70一0.403
所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32.
⑶把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列：
88，90，92，92，95，96，96，97，98，99，
计算10X20%=2,所以这10人成绩的20%分位数为一^=91,这10人成绩
的平均数为1
10（88+90+92+92+95+96+96+97+98+99）=94.3.
评价：
从第20百分位数和平均数来看，参赛人员的认知程度很高感想：
结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可.
1.通过学习和应用百分位数，重点培养数据分析素养、数学运算和数学建模素养.
2.求一组数据的百分位数时，掌握其步骤：
①按照从小到大排列原始数据；
②计
算i=nxp%；
③若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；
若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.
二、素养训练
1.已知100个数据的第75百分位数是9.3,贝U下列说法正确的是（）
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数解析因为100X75%=75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C.
答案C
2.数据7.0，8.4，8.4，8.4，8.6,8.7，9.0,9.1的第30百分位数是.
解析因为8X30%=2.4,故30%分位数是第三项数据8.4.
答案8.4
3.—组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为.
解析样本数据低于10的比例为（0.08+0.02）X4=0.40,样本数据低于14的比例为0.40+0.09X4=0.76，所以此样本数据的第50百分位数在［10,14）内，估计此
01100
样本数据的第50百分位数为10+燈X4=丄00.
0.369
答案罟
4.求下列数据的四分位数.
13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20,
解把12个数据按从小到大的顺序排列可得：
12,13,15,18,19,20,22,24,27,28,30,31,计算12X25%=3,12X50%=6,12X75%=9,所以数据的第25百分位数为些+里=16.5,
20+22
第50百分位数为20产=21,第75百分位数为27严=27.5.
II
课后作业
基础达标
一、选择题
1.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是（）
A.14B.17C.19D.23
解析因为8X70%=5.6,故70%分位数是第六项数据23.
答案D2.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：
（单位：
分）
78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,
则这15人成绩的第80百分位数是（）
A.90
B.90.5
C.91
D.91.5
解析把成绩按从小到大的顺序排列为：
56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15X80%=12,所以这15人成绩的第80百分位数是一厂=90.5.
答案B
3.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标）,所得数据都在区间［5,40］中，其频率分布直方图如图所示•估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是（）
D.30.5mm
A.29mm
C.30mm解析棉花纤维的长度在30mm以下的比例为（0.01+0.01+0.04+0.06+0.05）X5=0.85=85%,
在25mm以下的比例为85%—25%=60%,
由25+5X
0^0—^=29
0.85—0.60=
因此，80%分位数一定位于［25,30）内，
可以估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是29mm.
4.某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,
16,14,12,设该组数据的平均数为a,第50百分位数为b,则有（）
A.a=13.7,b=15.5B.a=14,b=15
C.a=12,b=15.5D.a=14.7,b=15
解析把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,
1
17,17,其平均数a=10X（10+12+14+14+15+15+16+17+17+17）=14.7,
因为10X50%=5,所以这10名工人一小时内生产零件的第50百分位数为b=15+15
2答案D
5.已知甲、乙两组数据（已按从小到大的顺序排列）:
甲组：
27,28,39,40,m,50;
乙组：
24,n,34,43,48,52;
若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则m等于（）
d.7
A12
A.7
c10
B.y
C.3
解析因为30%X6=1.8,80%X6=4.8，所以第30百分位数为n=28,第80百分位数为m=48,所以m=48=$
n28/
答案A
、填空题
6.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次
为[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100]，贝U60分为成绩的第分
位数.
解析因为分数位于[20,40）,[40,60）的频率之和为（0.005+0.01）X20=0.3,所
以60分为成绩的第30百分位数.
答案30
7.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：
[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17）,[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:
3:
7:
6:
3,那么成绩的70%分位数约为秒.
解析
1+3+71+3+7+6+3
成绩的70%分位数为x,因为
0.55,
1+3+7+6
1+3+7+6+3
0.85,
所以x€[16,17）,
所以0.55+（x—16）X卄3+7+6+3二。
匚。
，解得x=16.5（秒）.
答案16.5
8.已知30个数据的第60百分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是.
解析由于30X60%=18,设第19个数据为x,则笔乜=8.2，解得x=8.6,即第19个数据是8.6.
答案8.6三、解答题
9.如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，求
这7天的日最高气温的第10百分位数和日最低气温的第80百分位数.
:
口诂攸咒覘
I（L_£
±
解由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24,24.5,24.5,25,26,26,27,
因为共有7个数据，所以7X10%=0.7,不是整数，所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据，为24C.
把日最低气温按照从小到大排序，得12,12,13,14,15,16,17,
因为共有7个数据，所以7X80%=5.6,不是整数，所以这7天日最低气温的第
80百分位数是第6个数据，为16C.
10.某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额,所得数据如下表:
网购金额（单位：
千元）
人数
频率
（0,1]
16
0.08
（1,2]
24
0.12
（2,3]
x
P
（3,4]
y
q
（4,5]
（5,6]
14
0.07
合计
200
1.00
已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3:
2.
（1）试确定x,y,p,q的值，并补全频率分布直方图（如图）；
（I
C）好0OO
（）
n-_
is?
/rK.
（2）估计网购金额的25%分位数（结果保留3位有效数字）.
16+24+x+y+16+14=200,
解
（1）根据题意有：
16+24+x=3
y+16+14=2，
x=80,
解得
y=50.
所以p=0.4,q=0.25.
补全频率分布直方图如图所示:
组距
---
■■‘w■m■
1231
56
⑵由
（1）可知，网购金额不高于2千元的频率为
0.08+0.12=0.2,
网购金额不高于3千元的频率为0.2+0.4=0.6,
所以网购金额的25%分位数在（2,3]内，
则网购金额的25%分位数为2+警-拧X1=2.125"
2.13（千元）.
0.6—0.2
能力提升
11.数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是（）
A.[4.5,+x）B.[4.5,6.6）
C.（4.5,+x）D.（4.5,6.6]
解析因为8X65%=5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5,则x>
4.5，故选A.
12.
ill!
O.IH
某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组:
[20,30）,[30,40）,…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
°
settoso6（）ao40井ft
（1）估计总体400名学生中分数小于70的人数；
⑵已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
⑶根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用⑵中的数据，确定本次测试的及格分数线，低于及格分数线的学生需要补考•
解
（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02+
0.04）X10=0.6，
所以样本中分数小于70的频率为1—0.6=0.4.
所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为
400X0.4=160.
（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为
（0.01+0.02+0.04+0.02）X10=0.9，
分数在区间[40，50）内的人数为100—100X0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为
400X100=20.
⑶设分数的第15百分位数为x,
分数小于50的频率为1—（0.01+0.02+0.04+0.02）X10=0.1，分数小于60的频
率为0.1+0.1=0.2，
所以x€[50，60），贝U0.1+（x—50）X0.01=0.15,
解得x=55,则本次考试的及格分数线为55分.
创新猜想
13.侈选题）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如
图所示，则（）
」频数]
1-1
22
jnnnnn.._
A.-..鼠
M15h7K9环数C
4Sft7KM川席&
甲
乙
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差
由图可得,
—4+5+6+7+8小乂甲==6,
乂乙=
3X5+6+9
A项错误,
正确;
甲的成绩的第80百分位数
7+8
7.5,乙的成绩的第80百分位数
6+9
"
2_
=7.5,所以
二者相等，所以C项正确;
甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,D项正确.
答案BCD
14.（多填题）对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为［25,30）的数据不慎丢失，则依据此图可得:
11
1t
b■■■叫
1i
a-*-a■■■i
'
*・
1-*HH
II
（W8
（X06
0曲
n.HI
（1）［25,30）年龄组对应小矩形的高度为;
（2）由频率分布
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