高三数学大一轮复习 25指数与指数函数教案 理 新人教A版.docx

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高三数学大一轮复习25指数与指数函数教案理新人教A版

2019-2020年高三数学大一轮复习2.5指数与指数函数教案理新人教A版

2014高考会这样考　1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．

复习备考要这样做　1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．

1．根式的性质

（1）（）n＝a.

（2）当n为奇数时＝a.

当n为偶数时＝

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正整数指数幂：

an＝a·a·…·（n∈N*）．

②零指数幂：

a0＝1（a≠0）．

③负整数指数幂：

a－p＝（a≠0，p∈N*）．

④正分数指数幂：

a＝（a>0，m、n∈N*，且n>1）．

⑤负分数指数幂：

a－＝＝（a>0，m、n∈N*，且n>1）．

⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

（2）有理数指数幂的性质

①aras＝ar＋s（a>0，r、s∈Q）；

②（ar）s＝ars（a>0，r、s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

图象

定义域

（1）R

值域

（2）（0，＋∞）

性质

（3）过定点（0,1）

（4）当x>0时，y>1；

x<0时，0

（5）当x>0时，0

x<0时，y>1

（6）在（－∞，＋∞）上是增函数

（7）在（－∞，＋∞）上是减函数

数a按：

01进行分类讨论．

[难点正本　疑点清源]

1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂

的运算，从而可以简化计算过程．

2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：

01

进行分类讨论．

3．比较指数式的大小方法：

利用指数函数单调性、利用中间值．

1．化简[（－2）6]－（－1）0的值为________．

答案　7

解析　[（－2）6]－（－1）0＝（26）－1＝23－1＝7.

2．若函数y＝（a2－1）x在（－∞，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是__________．

答案　（－，－1）∪（1，）

解析　由y＝（a2－1）x在（－∞，＋∞）上为减函数，得0

或－

3．若函数f（x）＝ax－1（a>0，且a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.

答案　

解析　当a>1时，x∈[0,2]，y∈[0，a2－1]．

因定义域和值域一致，故a2－1＝2，即a＝.

当0

此时，定义域和值域不一致，故此时无解．

综上，a＝.

4．（2012·四川）函数y＝ax－（a>0，且a≠1）的图象可能是（　　）

答案　D

解析　当a>1时，y＝ax－为增函数，且在y轴上的截距为0<1－<1，排除A，B.

当0

5．设函数f（x）＝a－|x|（a>0，且a≠1），f

（2）＝4，（　　）

A．f（－2）>f（－1）B．f（－1）>f（－2）

C．f

（1）>f

（2）D．f（－2）>f

（2）

答案　A

解析　∵f（x）＝a－|x|（a>0，且a≠1），f

（2）＝4，

∴a－2＝4，∴a＝，

∴f（x）＝－|x|＝2|x|，∴f（－2）>f（－1），故选A.

题型一　指数幂的运算

例1　

（1）计算：

（124＋22）－27＋16－2×（8－）－1；

（2）已知x＋x－＝3，求的值．

思维启迪：

（1）本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可；

（2）注意x2＋x－2、x＋x－与x＋x－之间的关系．

解　

（1）（124＋22）－27＋16－2×（8－）－1

＝（11＋）2×－33×＋24×－2×8－×（－1）

＝11＋－3＋23－2×23×

＝11＋－＋8－8＝11.

（2）∵x＋x－＝3，∴（x＋x－）2＝9，

∴x＋2＋x－1＝9，∴x＋x－1＝7，

∴（x＋x－1）2＝49，∴x2＋x－2＝47，

又∵x＋x＋－＝（x＋x－）·（x－1＋x－1）

＝3×（7－1）＝18，

∴＝3.

探究提高　根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对

于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．

计算下列各式的值：

（1）－＋（0.002）－－10（－2）－1＋（－）0；

（2）－（－1）0－；

（3）（a>0，b>0）．

解　

（1）原式＝－＋－－＋1

＝＋500－10（＋2）＋1

＝＋10－10－20＋1＝－.

（2）原式＝－2－1－

＝（－2）－1－（－2）＝－1.

（3）原式＝＝a＋－1＋b1＋－2－＝ab－1.

题型二　指数函数的图象、性质的应用

例2　

（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论

正确的是（　　）

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．00

D．0

（2）求函数f（x）＝3的定义域、值域及其单调区间．

思维启迪：

对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函

数的关系入手．

答案　

（1）D

解析　由f（x）＝ax－b的图象可以观察出函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0

函数f（x）＝ax－b的图象是在f（x）＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

（2）解　依题意x2－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，

∴f（x）的定义域是（－∞，1]∪[4，＋∞）．

∵≥0，∴f（x）＝3≥30＝1，

∴函数f（x）的值域是[1，＋∞）．

令u＝＝，x∈（－∞，1]∪[4，＋∞），

∴当x∈（－∞，1]时，u是减函数，

当x∈[4，＋∞）时，u是增函数．

而3>1，∴由复合函数的单调性，可知f（x）＝3在（－∞，1]上是减函数，在[4，

＋∞）上是增函数．

探究提高　

（1）与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

（2）对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．

（1）函数y＝的图象大致为（　　）

答案　A

解析　y＝＝1＋，当x>0时，e2x－1>0，且随着x的增大而增大，故y＝1

＋>1且随着x的增大而减小，即函数y在（0，＋∞）上恒大于1且单调递减．又函

数y是奇函数，故只有A正确．

（2）若函数f（x）＝e－（x－μ）2（e是自然对数的底数）的最大值是m，且f（x）是偶函数，则m

＋μ＝________.

答案　1

解析　由于f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x），

即e－（－x－μ）2＝e－（x－μ）2，∴（x＋μ）2＝（x－μ）2，∴μ＝0，

∴f（x）＝e－x2.又y＝ex是R上的增函数，而－x2≤0，

∴f（x）的最大值为e0＝1＝m，∴m＋μ＝1.

题型三　指数函数的综合应用

例3　

（1）k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？

有一解？

有两解？

（2）已知定义在R上的函数f（x）＝2x－.

①若f（x）＝，求x的值；

②若2tf（2t）＋mf（t）≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

思维启迪：

方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最

值或值域来解决．

解　

（1）函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程

无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象

有唯一的交点，所以方程有一解；

当0

（2）①当x<0时，f（x）＝0，无解；

当x≥0时，f（x）＝2x－，

由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，

看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或－，

∵2x>0，∴x＝1.

②当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，

即m（22t－1）≥－（24t－1），∵22t－1>0，∴m≥－（22t＋1），

∵t∈[1,2]，∴－（22t＋1）∈[－17，－5]，

故m的取值范围是[－5，＋∞）．

探究提高　对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f（x）＝g（x）解的个数即为函数y＝f（x）和y＝g（x）图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．

已知f（x）＝（ax－a－x）（a>0且a≠1）．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）当x∈[－1,1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

解　

（1）因为函数的定义域为R，所以关于原点对称．

又因为f（－x）＝（a－x－ax）＝－f（x），

所以f（x）为奇函数．

（2）当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，

所以f（x）为增函数，

当0

y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，

从而y＝ax－a－x为减函数，所以f（x）为增函数．

故当a>0，且a≠1时，f（x）在定义域内单调递增．

（3）由

（2）知f（x）在R上是增函数，

所以在区间[－1,1]上为增函数，

所以f（－1）≤f（x）≤f

（1），

所以f（x）min＝f（－1）＝（a－1－a）

＝·＝－1，

所以要使f（x）≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，

故b的取值范围是（－∞，－1]．

　　　　　　3.利用方程思想和转化思想求参数范围

典例：

（14分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．

（1）求a，b的值；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范围．

审题视角　

（1）f（x）是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方

程：

f（0）＝0，f

（1）＝－f（－1）．

（2）可考虑将t2－2t,2t2－k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式．也可

考虑先判断f（x）的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式．

规范解答

解　

（1）因为f（x）是R上的奇函数，

所以f（0）＝0，即＝0，解得b＝1，

从而有f（x）＝.[4分]

又由f

（1）＝－f（－1）知＝－，

解得a＝2.[7分]

（2）方法一　由

（1）知f（x）＝，

又由题设条件得＋<0，

即（22t2－k＋1＋2）（－2t2－2t＋1）＋（2t2－2t＋1＋2）（－22t2－k＋1）<0.[9分]

整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0.[12分]

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，

解得k<－.[14分]

方法二　由

（1）知f（x）＝＝－＋，

由上式易知f（x）在R上为减函数，又因为f（x）是奇函数，从而不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0

等价于f（t2－2t）<－f（2t2－k）＝f（－2t2＋k）．