运筹学结课论文Word格式文档下载.docx

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1939年苏联数学家坎托罗维奇为解决生产组织中的相关问题，如机器负荷的分配、原材料的合理利用等，发表《生产组织与计划中的数学方法》等论文，这是世界上最早研究线性规划的文章；

1947年美国数学家丹齐克首次提出线性规划的概念，并提出了线性规划的一般模型和求解线性规划问题的通用单纯形法，为这门学科奠定了基础；

1951年美国经济学家库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此与康托罗维奇一起获得1975年诺贝尔经济学奖；

与此同时由于电子计算机的发展，出现了许多线性规划软件，可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题，使得线性规划的应用范围更加广阔，从解决技术问题的最优设计到工业、农业、商业、交通运输、军事、经济、管理决策等众多领域都可以发挥作用。

二、线性规划在生产运作管理的问题提出

[例]吉利玩具厂生产A、B两种高级玩具，主要有结构制造、组装和喷漆等工序。

一个玩具A的利润为450元；

一个玩具B的利润为550元。

下表给出了工厂各车间在全部生产某一种玩具时的生产能力，若混合生产时，可对下表中的数据进行线性组合。

利用线性规划确定两种产品各生产多少，从而使利润最大，并求出总利润

______________________________________________________________________________

车间AB

结构制造550550

组装800300

喷漆600400

在企业投资决策中，经常需要用到线性规划。

例如案例二：

随着人们经济水平的不断提高，某投资商决定投资建汽车厂生产大轿车和载重汽车两种型号的的汽车，已知生产每辆汽车所用的钢材都是2吨／辆，该工厂每年的供应的钢材为1600吨，工厂的生产能力是载重汽车2.5小时／辆，大轿车5小时／辆，工厂全年的有效工时为2500小时；

已知供应给该厂的大轿车用的座椅400辆／年。

据市场调查，出售一辆大轿车可获利4千元，出售一辆载重汽车可获利3千元.问在这些条件下，该投资商如何安排生产才能使工厂获利最大？

1、分析与建模：

该问题是在有限资源约束下求利润最大化的问题，

设x1为生产大汽车的数量，x2为生产载重汽车的数量.

模型：

maxZ=4x1+3x2

ST:

2x1+2x2≤1600

5x1+2.5x2≤2500

x1≤400

x1≥0,x2≥0

1、模型求解（表解式单纯形法）

增加三个变量x3,x4,x5,先将该问题化成标准型:

maxZ=4x1+3x2

ST:

2x1+2x2+x3=1600

5x1+2.5x2+x4=2500

x1+x5=400

x1,x2，x3,x4,x5≥0表解形式如表：

列

行

12345

b

θ

x

X1X2X3X4X5

c

43000

1

2

3

X3

X4

X5

22100

52.5010

10001

1600

2500

400

800

500

4

5

zj

zj-cj

40000

-4-3000

X1

0210-2

02.501-5

200

40004

00004

X2

001-0.82

0100.4-2

4301.2-2

0001.2-2

2200

000.5-0.41

011-0.40

10-0.50.40

600

4310.40

0010.40

2600

最优解

从表中可得，该工厂生产200辆大汽车，600辆载重汽车所得到的利润最大为maxZ=4x1+3x2=2600（千元）

另一方面，养老保险属于社会保障系统的重要内容，社会保障系统作为一个国家社会制度的重要组成部分，其内容、形式和其中所使用的各种计算方法不仅关系到国民的自身利益，而且对一个国家的政治和社会经济的发展具有重要的作用。

社会保障系统中所包含的定量分析和计算是多种多样的，主要包括三个方面：

第一，对社会保障基金提取量的测算；

第二，对职工享受社会保障待遇的标准测算；

第三，对社会保障基金各阶段收付额的预测。

基本养老保险金的提取比例一般是一年或若干年调整一次，从数学模型的角度看两者并无实质性区别，这里定义一年为一个阶段。

考虑到养老保险制度是一个长期制度，具体年限并不确定，因而阶段数可以根据实际问题的研究目标制定。

如：

要确定10年内各年的提取比例，则阶段数就定为10；

也可以将老龄化程度最高、养老保险金支付额最大的年份作为决策过程的终止年。

不失一般性，将整个决策过程定义为n个阶段。

状态变量xk定义为阶段k开始时的储备基金，M是最大储备金额。

决策变量uk为阶段k基本养老保险金按工资总额提取的比例，这一比例也应在一定范围之内。

按照国际标准，提取比例达到20%时即为社会预警线，29%即达到社会承受的极限，因此我们设定R为提取的最大比例，若sk为阶段k的工资总额，则有：

dk-xk≤sk•uk≤min{sk•R,dk+dk+1+…+dn+A-xk}

其中sk•R就是基本养老保险金所能提取的最大金额。

已知阶段k开始时的储备基金是xk，阶段k的基本养老保险金收入额为sk•uk，支付额是dk。

假定储备基金的年增值率为ik，考虑资金的时间价值，则阶段末即阶段k+1的初始储备基金为：

xk+1=（1+ik）xk+sk•uk-dk，即状态转移方程。

可以看出，k+1阶段的储备基金xk+1完全由k阶段的储备基金xk和基本养老保险金的提取比例uk所决定，与前面的状态和决策无关，即满足无后效性。

设单位资金的管理费用为L，则阶段k的管理费用为：

L•sk•uk；

设储备基金的机会损失率为jk，，则阶段k时储备基金的机会损失额为：

jk•xk+1=jk[（1+ik）xk+sk•uk-dk]，于是可写出阶段效益的表达式：

rk（xk,uk）=L•sk•uk+jk[（1+ik）xk+sk•uk-dk]

目标函数为各阶段效益之和，即

在此基础上，即可写出动态规划基本方程：

根据这一模型得到的阶段k的提取比例uk对于全过程而言是最优的。

值得注意的是sk、dk、jk都是利用预测技术得出的今后若干年的预测值，它们本身的准确程度会受到就业率、工资增长率，人口死亡率、退休率、生活费指数，各种投资利率等的影响，必须进一步进行理论分析以提高预测的准确程度。

根据开发区职工年龄结构上的特点是以中青年为主和职工平均年龄30岁的抽样统计结果，开发区在25年后养老保险金的支付将达到一次高潮。

因而在计算过程中选择整个计划期为25年，共分为5个阶段，每个阶段代表5年。

根据开发区各年龄段人数（见表4-1），期望寿命按70岁计算，推算出今后25年中各阶段的退休人数；

结合开发区未来25年发展规模及经济增长速度，预测出各阶段新增职工人数和新增职工退休人数，在此基础上计算出开发区25年中各阶段退休职工人数，见表4-2。

表4-1开发区职工按年龄段分布人数

年 

龄

20-24

25-29

30-34

35-39

40-44

人 

数

6137

11552

13357

3249

1805

表4-2 

开发区25年中各阶段退休职工人数

阶 

段

1

2

3

4

0

3427

10830

39202

各阶段每个职工平均养老保险金支付额的计算以年平均工资4800元为基数，分90%，80%，70%三个档次计算。

各期职工年平均工资分别按年平均工资增长率5%、10%来计算。

由于开发区内大多数企业属于电子及化工行业，查这两类企业平均投资利润率为14%，按银行三年整存整取利率10.8%计算，年机会损失率为3.2%，基金管理费按缴纳量的5%提取。

选取支付额占工资90%，年平均工资增长率5%的计算结果为代表，见表4-3。

表4-3 

支付额占工资90%，年平均工资增长率5%的计算结果

5

提取比例

0．0025

0．917

0．15

最小费用

307632

278624

20076992

57332536

37920152

期初储备量

1000000

1670000

61617084

188480528

动态规划模型从开发区整体出发，以退休人员养老保险金的支付额来确定应从在职职工中按工资总额提出养老保险金的比例，并在保证各阶段最大提取比例限制条件基础上，使得整个计划期内总的费用或损失最小。

实际应用中，还结合其它模型的计算进行对比和综合调整，进一步进行了可行性分析和提出相应的政策建议。

三、线性规划模型的建立

建立线性规划模型需要找到问题中的三个要素，找到三个要素的过程也就是建立模型的三个步骤：

1.根据影响所要达到目标的因素找到决策变量；

2.由决策变量和所要达到目标之间的函数关系确定目标函数；

3.找到决策变量的限制条件，即约束条件。

所建立的数学模型具有以下特点：

1.每个模型都有若干个影响目标的决策变量（x1,x2,x3…xn），其中n为决策变量个数。

每一组决策变量的值表示一种解决方案，每个问题都有多组决策变量的值，即有多种解决方案，线性规划就是要在多组解决方案中，找到最优的解决方案。

最优的方案可以只有一个，也有可能有多个，多个最优方案达到的效果应是一样的。

同时，对于求解经济、管理等实际问题，决策变量一般都是非负的。

2.目标函数是由上面所定义的n个决策变量表示的线性函数，根据具体问题可以是使目标函数最大（max）或最小（min），总之是求解最优化的方案。

3.约束条件是决策变量的线性函数，用来表示资源受到的限制。

解：

依题意，设生产A产品X1件，生产B产品X2件，总利润为W，可得：

MaxW＝450X1＋550X2（X1，X2≥0）

约束条件：

化简得到：

550X1＋550X2≤550×

550X1＋X2≤550

300X1＋800X2≤800×

3003X1＋8X2≤2400

400X1＋600X2≤400×

6002X1＋3X2≤1200

化为标准型：

MinW'

＝﹣450X1－550X2（X1，X2≥0）

X1＋X2＋X3＝550

3X1＋8X2＋X4＝2400

2X1＋3X2＋X5＝1200

　100

取标准基B1＝（P1，P2，P3）＝010，对应单纯形表：

　001

Z1

Z2

Z3

f

450

550

2400

8

1200

换出X2，换入Z3：

-22000

250/3

-55/3

150

1/3

-1/3

-800

-7/3

-8/3

2/3

换出X1，换入Z2：

-1740000/7

250/7

-1950/7

1/7

1/21

2400/7

-3/7

-8/7

1200/7

2/7

23/21

换出Z2，换入Z1：

-257500

-250

-6100/21

250

7

-1

100

-2

此时求得最优解：

X1=450，X2=100，MinZ=-257500，MaxZ=257500

答：

当同时生产A产品450件，B产品100件时可获得最大利润257500元。

四、总结

经济、管理、交通运输、军事等各个方面的都可以运用线性规划求得答案，在企业的各项管理活动中,例如计划、生产、运输、技术等问题，线性规划是指从各种限制条件的组合中，选择出最为合理的计算方法，建立线性规划模型从而求得最佳结果。

我们要有效推广了线性规划在各行各业中的应用。