高中空间立体几何典型例题.doc

高中空间立体几何典型例题.doc

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1如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.

求证：

EF∥平面ABCD.

证明方法一分别过E，F作EM⊥AB于M，FN⊥BC于N，连接MN.

∵BB1⊥平面ABCD，

∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，

∴EM∥BB1，FN∥BB1，

∴EM∥FN.

又∵B1E=C1F，∴EM=FN，

故四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN.

又MN平面ABCD，EF平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD.

方法二过E作EG∥AB交BB1于G，

连接GF，则，

∵B1E=C1F，B1A=C1B，

∴，∴FG∥B1C1∥BC，

又EG∩FG=G，AB∩BC=B，

∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，

∴EF∥平面ABCD.

2已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.

（1）求证：

平面G1G2G3∥平面ABC；

（2）求S△∶S△ABC.

（1）证明如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，

连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD=2∶3，

PG2∶PE=2∶3，∴G1G2∥DE.

又G1G2不在平面ABC内，

∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.

又因为G1G2∩G2G3=G2，

∴平面G1G2G3∥平面ABC.

（2）解由

（1）知=，∴G1G2=DE.

又DE=AC，∴G1G2=AC.

同理G2G3=AB，G1G3=BC.

∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3，

∴S△∶S△ABC=1∶9.

3如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为△SAB上的高，

D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.

解SG∥平面DEF，证明如下：

方法一连接CG交DE于点H，

如图所示.

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AB.

在△ACG中，D是AC的中点，

且DH∥AG.

∴H为CG的中点.

∴FH是△SCG的中位线，

∴FH∥SG.

又SG平面DEF，FH平面DEF，

∴SG∥平面DEF.

方法二∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.

∵EF平面SAB，SB平面SAB，

∴EF∥平面SAB.

同理可证，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，

∴平面SAB∥平面DEF，又SG平面SAB，

∴SG∥平面DEF.

5如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、

C1D1、A1A的中点.求证：

（1）BF∥HD1；

（2）EG∥平面BB1D1D；

（3）平面BDF∥平面B1D1H.

证明

（1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.

又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.

（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，

则OEDC，

又D1GDC，∴OED1G，

∴四边形OEGD1是平行四边形，

∴GE∥D1O.

又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.

（3）由

（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1∩HD1=D1，

DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H.

6如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.

（1）求证：

AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.

（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.

（1）证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.

∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.

∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，

∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.

同理可证，CD∥平面EFGH.

（2）解设EF=x（0＜x＜4），由于四边形EFGH为平行四边形，

∴.

则===1-.

从而FG=6-.

∴四边形EFGH的周长l=2（x+6-）=12-x.

又0＜x＜4,则有8＜l＜12,

∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.

7如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？

解当Q为CC1的中点时，

平面D1BQ∥平面PAO.

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.

∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.

又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，

D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

8正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ.

求证：

PQ∥平面BCE.

证明方法一如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE=BD.

又∵AP=DQ，∴PE=QB，

又∵PM∥AB∥QN，

∴，，，∴PMQN，

∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN.

又MN平面BCE，PQ平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

方法二如图所示，连接AQ，并延长交BC于K，连接EK，

∵AE=BD，AP=DQ，

∴PE=BQ，

∴= ①

又∵AD∥BK，∴= ②

由①②得=，∴PQ∥EK.

又PQ平面BCE，EK平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

方法三如图所示，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，

连接QM.

∵PM∥BE，PM平面BCE，

即PM∥平面BCE，

∴= ①

又∵AP=DQ，∴PE=BQ，

∴= ②

由①②得=，∴MQ∥AD，

∴MQ∥BC，又∵MQ平面BCE，∴MQ∥平面BCE.

又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE，

PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.

8如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视图在下面画出（单位:

cm）.

（1）在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;

（2）按照给出的尺寸,求该多面体的体积;

（3）在所给直观图中连接BC′,证明:

BC′∥平面EFG.

（1）解如图

（1）所示.

图

（1）

（2）解所求多面体体积

V=V长方体-V正三棱锥

=4×4×6-×（×2×2）×2=（cm3）.

（3）证明如图

（2）,在长方体ABCD—A′B′C′D′中,

连接AD′,则AD′∥BC′.

因为E,G分别为AA′,A′D′的中点,

所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.

又BC′平面EFG,图

（2）

所以BC′∥面EFG.

9.如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M，N分别为PA，BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

（1）求证：

直线MN∥平面PBC；

（2）求线段MN的长.

（1）证明连接AN并延长交BC于Q，

连接PQ，如图所示.

∵AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，

∴===，

又∵==，

∴==，∴MN∥PQ，

又∵PQ平面PBC，MN平面PBC，

∴MN∥平面PBC.

（2）解在等边△PBC中，∠PBC=60°，

在△PBQ中由余弦定理知

PQ2=PB2+BQ2-2PB·BQcos∠PBQ

=132+-2×13××=，

∴PQ=，

∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，

∴MN=×=7.

10在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：

MN∥平面PAD．

证明：

方法一，取PD中点E，连接AE，NE．

∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，

∴MA∥CD，

∵E是PD的中点，

∴NE∥CD，

∴MA∥NE，且MA＝NE，

∴AENM是平行四边形，

∴MN∥AE．

又AE平面PAD，MN平面PAD，

∴MN∥平面PAD．

方法二取CD中点F，连接MF，NF．

∵MF∥AD，NF∥PD，

∴平面MNF∥平面PAD，

∴MN∥平面PAD．

11在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：

A1C⊥BC1．

【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．

证明：

连接AC1．

∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，

∴AA1⊥平面ABC，

∴AB⊥AA1．

又AB⊥AC，

∴AB⊥平面A1ACC1，

∴A1C⊥AB．①

又AA1＝AC，

∴侧面A1ACC1是正方形，

∴A1C⊥AC1．②

由①，②得A1C⊥平面ABC1，

∴A1C⊥BC1．

12在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：

平面PAC⊥平面PBC．

【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．

证明：

∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，

∴BC⊥平面PAB，

∴AP⊥BC．

又AP⊥PB，

∴AP⊥平面PBC，

又AP平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBC．

13如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．

（Ⅰ）求证：

直线EF∥平面A1ACC1；

（Ⅱ）在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．

证明：

（Ⅰ）连接A1C，A1E．

∵侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，

∴E也是A1B的中点，

又F是BC的中点，∴EF∥A1C．

∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，

∴直线EF∥平面A1ACC1．

（2）解：

当时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下：

连接EG，FG．

∵侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB是等边三角形．

∵E是A1B的中点，，∴EG⊥AB．

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，

∴EG⊥平面ABC．

又EG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．

14如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．

（Ⅰ）求证：

平面BEC1⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：

AB1∥平面BEC1．

证明：

（Ⅰ）∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，

∴BE⊥AA1．

∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，

∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．

（Ⅱ）证明：

连接B1C，设BC1∩B1C＝D．

∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点，∴DE∥AB1．

又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，

∴AB1∥平面BEC1．

15在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，．

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证