高中数学选修2-2第一章导数测试题.doc

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选修2-2第一章单元测试

（一）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．函数f（x）＝·sinx的导数为（　　）

A．f′（x）＝2·sinx＋·cosxB．f′（x）＝2·sinx－·cosx

C．f′（x）＝＋·cosxD．f′（x）＝－·cosx

2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点（0，b）处的切线方程是x－y＋1＝0，则（　　）

A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1

3．设f（x）＝xlnx，若f′（x0）＝2，则x0＝（　　）

A．e2B．eC.D．ln2

4．已知f（x）＝x2＋2xf′

（1），则f′（0）等于（　　）

A．0B．－4C．－2D．2

5.图中由函数y＝f（x）的图象与x轴围成的阴影部分的面积，用定积分可表示为（　　）

A.f（x）dxB.f（x）dx＋－3f（x）dx

C.f（x）dxD.f（x）dx－f（x）dx

6．如图是函数y＝f（x）的导函数的图象，给出下面四个判断：

①f（x）在区间[－2，－1]上是增函数；

②x＝－1是f（x）的极小值点；

③f（x）在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；

④x＝2是f（x）的极小值点．

其中，所有正确判断的序号是（　　）

A．①②B．②③C．③④ D．①②③④

7．对任意的x∈R，函数f（x）＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是（　　）

A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7

C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21

8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q（单位：

件）与零售价P（单位：

元）有如下关系：

Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出）（　　）

A．30元B．60元C．28000元 D．23000元

9．函数f（x）＝－（a

A．f（a）＝f（b）B．f（a）

C．f（a）>f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定

10．函数f（x）＝－x3＋x2＋x－2的零点个数及分布情况为（　　）

A．一个零点，在内

B．二个零点，分别在，（0，＋∞）内

C．三个零点，分别在，，（1，＋∞）内

D．三个零点，分别在，（0,1），（1，＋∞）内

11．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f′（x）≥0，则必有（　　）

A．f（0）＋f

（2）<2f

（1）B．f（0）＋f

（2）≤2f

（1）

C．f（0）＋f

（2）≥2f

（1）D．f（0）＋f

（2）>2f

（1）

12．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）>f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（　　）

A．f（a）eaf（0）C．f（a）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．过点（2,0）且与曲线y＝相切的直线的方程为________．

14．已知M＝dx，N＝cosxdx，则程序框图输出的S＝________.

15．设函数f（x）＝xm＋ax的导数为f′（x）＝2x＋1，则数列（n∈N＋）的前n项和是________．

16．已知函数f（x）＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．

三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）

17．（10分）设函数f（x）＝－x3－2mx2－m2x＋1－m（其中m>－2）的图象在x＝2处的切线与直线y＝－5x＋12平行．

（1）求m的值；

（2）求函数f（x）在区间[0,1]上的最小值．

18．（12分）已知函数f（x）＝kx3－3（k＋1）x2－k2＋1（k>0），若f（x）的单调递减区间是（0,4），

（1）求k的值；

（2）当k

2>3－

19.（12分）已知函数f（x）＝kx3－3x2＋1（k≥0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）的极小值大于0，求k的取值范围．

20.（12分）湖北宜昌“三峡人家”风景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：

y＝f（x）＝ax2＋x－bln，a，b为常数，当x＝10时，y＝19.2；当x＝20时，y＝35.7.（参考数据：

ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6）

（1）求f（x）的解析式；

（2）求该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值．（利润＝旅游收入－投入）

21.（12分）已知函数f（x）＝x3－x2＋cx＋d有极值．

（1）求c的取值范围；

（2）若f（x）在x＝2处取得极值，且当x<0时，f（x）

22.（12分）（2015·银川一中月考）设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R.

（1）求f（x）的单调区间与极值；

（2）求证：

当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

答案

1．C　f′（x）＝（）′·sinx＋·（sinx）′＝·sinx＋·cosx，故选C.

2．A　∵y′＝2x＋a，

∴曲线y＝x2＋ax＋b在（0，b）处的切线方程的斜率为a，

切线方程为y－b＝ax，即ax－y＋b＝0.∴a＝1，b＝1.

3．B　f′（x）＝（xlnx）′＝lnx＋1，

∴f′（x0）＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e.

4．B　f′（x）＝2x＋2f′

（1），∴f′

（1）＝2＋2f′

（1），即f′

（1）＝－2，∴f′（x）＝2x－4，∴f′（0）＝－4.

5．D　由定积分的几何意义可知，函数y＝f（x）的图象与x轴围成的阴影部分的面积为－3f（x）dx－f（x）dx.故选D.

6．B　由函数y＝f（x）的导函数的图象可知：

（1）f（x）在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；

（2）f（x）在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．

7．A　f′（x）＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′（x）≥0恒成立，函数不存在极值点．故选A.

8．D　设毛利润为L（P），

由题意知L（P）＝PQ－20Q＝Q（P－20）

＝（8300－170P－P2）（P－20）

＝－P3－150P2＋11700P－166000，

所以L′（P）＝－3P2－300P＋11700，

令L′（P）＝0，解得P＝30或P＝－130（舍去）．

此时，L（30）＝23000.

根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．

9．C　f′（x）＝－＝，

当x<1时，f′（x）<0，即f（x）在区间（－∞，1）上单调递减，

又∵af（b）．

10．A　利用导数法易得函数f（x）在－∞，－内单调递减，在内单调递增，在（1，＋∞）内单调递减，而f＝－<0，f

（1）＝－1<0，故函数f（x）的图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在内，故选A.

11.C　当1≤x≤2时，f′（x）≥0，则f

（2）≥f

（1）；

而当0≤x≤1时，f′（x）≤0，则f

（1）≤f（0），

从而f（0）＋f

（2）≥2f

（1）．

12．B　构造函数g（x）＝，则g′（x）＝>0，故函数g（x）＝在R上单调递增，所以g（a）>g（0），即>，即f（a）>eaf（0）．

13．x＋y－2＝0

解析：

设所求切线与曲线的切点为P（x0，y0），

∵y′＝－，∴y′x＝x0＝－，所求切线的方程为

y－y0＝－（x－x0）．

∵点（2,0）在切线上，

∴0－y0＝－（2－x0），∴xy0＝2－x0.①

又∵x0y0＝1，②

由①②解得∴所求直线方程为x＋y－2＝0.

14.

解析：

M＝dx＝π×12＝，N＝∫0cosxdx＝sinx0＝1，MN，则S＝M＝.

15.

解析：

f′（x）＝mxm－1＋a＝2x＋1，得

则f（x）＝x2＋x，＝＝－，

其和为＋＋＋…＋＝1－＝.

16．[1，＋∞）

解析：

根据题意，知f′（x）＝mx＋－2≥0对一切x>0恒成立，∴m≥－2＋，令g（x）＝－2＋＝－2＋1，则当＝1时，函数g（x）取得最大值1，故m≥1.

17．解：

（1）因为f′（x）＝－3x2－4mx－m2，

所以f′

（2）＝－12－8m－m2＝－5，

解得m＝－1或m＝－7（舍去），即m＝－1.

（2）令f′（x）＝－3x2＋4x－1＝0，

解得x1＝1，x2＝.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

0

1

f′（x）

－

＋

f（x）

2





2

所以函数f（x）在区间[0,1]上的最小值为f＝.

18．解：

（1）f′（x）＝3kx2－6（k＋1）x，

由f′（x）<0得0

∵f（x）的递减区间是（0,4），

∴＝4，∴k＝1.

（2）证明：

设g（x）＝2＋，g′（x）＝－.

当x>1时，1<，

∴g′（x）>0，∴g（x）在x∈[1，＋∞）上单调递增．

∴x>1时，g（x）>g

（1），即2＋>3，

∴2>3－.

　19.解：

（1）当k＝0时，f（x）＝－3x2＋1，

∴f（x）的单调增区间为（－∞，0]，单调减区间[0，＋∞）．

当k>0时，f′（x）＝3kx2－6x＝3kx，

∴f（x）的单调增区间为（－∞，0]，，单调减区间为.

（2）当k＝0时，函数f（x）不存在极小值，

当k>0时，依题意f＝－＋1>0，

即k2>4，所以k的取值范围为（2，＋∞）．

20．解：

（1）由条件得

，

解得a＝－，b＝1，

则f（x）＝－＋x－ln（x≥10）．

（2）由题意知

T（x）＝f（x）－x＝－＋x－ln（x≥10），

则T′（x）＝＋－＝－，

令T′（x）＝0，则x＝1（舍去）或x＝50.

当x∈（10,50）时，T′（x）>0，T（x）在（10,50）上是增函数；

当x∈（50，＋∞）时，T′（x）<0，T（x）在（50，＋∞）上是减函数，

∴x＝50为T（x）的极大值点，又T（50）＝24.4.

故该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值为24.4万元．

21.解：

（1）∵f（x）＝x3－x2＋cx＋d，

∴f′（x）＝x2－x＋c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）＝x2－x＋c＝0，有两个实数解，从而Δ＝1－4c>0，∴c<.

（2）∵f（x）在x＝2处取得极值，

∴f′

（2）＝4－2＋c＝0，

∴c＝－2.∴f（x）＝x3－x2－2x＋d.

∵f′（x）＝x2－x－2＝（x－2）（x＋1），

∴当x∈（－∞，－1）时，f′（x）>0，函数单调递增，当x∈（－1,2]时，f′（x）<0，函数单调递减．

∴x<0时，f（x）在x＝－1处取得最大值＋d，

∵x<0时，f（x）

∴＋d0，

∴d<－7或d>1，

即d的取值范围是（－∞，－7）∪（1，＋∞）．

22．解：

（1）f′（x）＝ex－2，x∈R.