高中数学选修2-1期末考试试题及答案.doc
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高二期末考试数学试题
一．选择题（每小题5分，满分６0分）
１.设均为直线,其中在平面的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
２.对于两个命题：
①，②，
下列判断正确的是（）。
A.①假②真 B.①真②假 C.①②都假 D.①②都真
３.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）
A.B.C.D.
４.已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的弦交椭圆与,两点，则是正三角形，则椭圆的离心率是（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
ABCD
５.过抛物线的焦点作倾斜角为直线，直线与抛物线相交与，两点，则弦的长是（）
A8B16C32D64w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
６.在同一坐标系中，方程的曲线大致是（）
A．B．C．D．
７.已知椭圆（>0）的两个焦点F1，F2，点在椭圆上，则的面积最大值一定是（）
ABCD
８.已知向量互相垂直,则实数k的值是（ ）
A．1B． C．D．
９.在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
10.若椭圆交于A，B两点,过原点与线段AB中点的连线的斜率为，则的值是（）
11.过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，若，则的值为（）
A．5B．6C．8D．10
12..以=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）
A.B.C.D.
二．填空题（每小题４分）
13．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：
其中x，y是实数，若点M与A、B、C四点共面，则x+y= ___
14．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，则等于___
15．若命题P：
“x＞0，”是真命题，则实数a的取值范围是___．
16．已知，为空间中一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为___．
三．解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
）
17．（本小题满分14）
设命题：
，命题：
；
如果“或”为真，“且”为假，求的取值范围。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
18．（15分）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）
（Ⅰ）求证AP∥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角G-EF-D的大小；
（Ⅲ）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．
19．（15分）如图，金砂公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪
A
E
y
x
D
C
B
分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.
（Ⅰ）设AD＝，DE＝，求关于的函数关系式；
（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，我们希望它最短，则DE的位置应在哪里？
请予以证明.
20.（15分）设分别为椭圆的左、右两个焦点.
（Ⅰ）若椭圆上的点两点的距离之和等于4，求椭圆的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，。
21.（15分）如图，设抛物线C：
的焦点为F，为抛物线上的任一点（其中≠0），
过P点的切线交轴于Q点．
（Ⅰ）证明：
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B
A
O
F
x
y
Q
P
M
（Ⅱ）Q点关于原点O的对称点为M，过M点作平行于PQ的直线交抛物线C于A、B两点，若，求的值．
高二（理科）期末考试数学试题参考答案及评分标准
一．选择题：
ABCCB DCBDB DD
二、填空题：
１３.１4.8１5.
１6.详解：
由对称性点在平面内的射影必在的平分线上作于，连结则由三垂线定理，设，又,所以，因此直线与平面所成角的正弦值，本题亦可用向量法。
１６.
三．解答题：
１７解：
命题：
即恒成立…………3分
命题：
即方程有实数根
∴或.…………6分
∵“或”为真，“且”为假，∴与一真一假…………8分
当真假时，；当假真时，…………10
∴的取值范围是………1４
１８（14分）解法一：
（Ⅰ）在图②中∵平面PDC⊥平面ABCD，AP⊥CD
∴PD⊥CD，PD⊥DA
∴PD⊥平面ABCD
如图.以D为坐标原点，直线DA、DC、DP分别为与z轴建立空间直角坐标系：
…………………1分
则
………………3分
设平面GEF的法向量，由法向量的定义得：
不妨设z=1，则………………………………4分
………………………………5分
，点P平面EFG
∴AP∥平面EFG………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量，因平面EFD与坐标平面PDC重合
则它的一个法向量为=（1，0，0）………………………………8分
设二面角为.则…………9分
由图形观察二面角为锐角，故二面角G-EF-D的大小为45°。
………10分
（Ⅲ）假设在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，
∵P、Q、D三点共线，则设，又，
∴，又…………11分
若PC⊥平面ADQ，又
则…………1５分
∴，………………………………13分
故在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，且点Q为线段PB的中点。
……1５分
解法二：
（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理
∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG……………………4分
（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD
过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知
∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，
故二面角G-EF-D的大小为45°。
…………………8分
（3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM∥BC，∴QM⊥PC
在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ……………………1５分
１９（14分）解:
（1）在△ADE中，2＝2＋AE2－2·AE·cos60°
…………………2分
2＝2＋AE2－·AE,①
又S△ADE＝S△ABC＝·2＝·AE·sin60°·AE＝2.②……4分
②代入①得2＝2＋－2（＞0）,∴＝………6分
又≤2，若，，矛盾，所以≥
∴＝（1≤≤2）.………………………7分
（2）如果DE是水管＝≥,………………10分
当且仅当2＝，即＝时“＝”成立，…………………………1５分
故DE∥BC，且DE＝.………………………………1５分
２０解：
（Ⅰ）椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.…….2分
又点…….4分
所以椭圆C的方程为…….6分
（Ⅱ）设…….8分
…….10分
…….12分
又…….1５分
２１解：
（Ⅰ）证明：
由抛物线定义知，
，
可得PQ所在直线方程为，
∵
∴得Q点坐标为（0,）
∴∴|PF|=|QF|
（Ⅱ）设A（x1,y1），B（x2,y2），又M点坐标为（0,y0）
∴AB方程为…….8分。
由得
∴……①…….10分。
由得：
，
∴……②…….12分。
由①②知，得，由x0≠0可得x2≠0，
∴，又，解得：
．…….1５分。
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