高中数学解析几何总结(非常全).doc
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高中数学解析几何
第一部分:
直线
一、直线的倾斜角与斜率
1.倾斜角α
（1）定义：
直线l向上的方向与x轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
（2）范围：
2.斜率：
直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
（1）.倾斜角为的直线没有斜率。
（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
（3）设经过和两点的直线的斜率为，
则当时，；当时，；斜率不存在；
二、直线的方程
1.点斜式：
已知直线上一点P（x0,y0）及直线的斜率k（倾斜角α）求直线的方程用点斜式：
y-y0=k（x-x0）
注意：
当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为；
2.斜截式：
若已知直线在轴上的截距（直线与y轴焦点的纵坐标）为，斜率为，则直线方程：
；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：
注意：
正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
3.两点式：
若已知直线经过和两点，且（则直线的方程：
；
注意：
①不能表示与轴和轴垂直的直线；
②当两点式方程写成如下形式时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：
若已知直线在轴，轴上的截距分别是，（）则直线方程：
；
注意：
1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a
5一般式：
任何一条直线方程均可写成一般式：
；（不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。
注意：
①直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为0才能确定。
②指出此时直线的方向向量：
，，（单位向量）；直线的法向量：
；（与直线垂直的向量）
6（选修4-4）参数式（参数）其中方向向量为，
单位向量；；；
点对应的参数为，则；
（为参数）其中方向向量为，的几何意义为；斜率为；倾斜角为。
三、两条直线的位置关系
位置关系
平行
，且
（A1B2-A2B1=0）
重合
，且
相交
垂直
设两直线的方程分别为：
或；当或时它们相交，交点坐标为方程组或解；
注意：
①对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：
对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如
②若两直线的斜率都不存在，则两直线平行；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线垂直。
③对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。
因此，此公式使用起来更方便．
④斜率相等时，两直线平行（或重合）；但两直线平行（或重合）时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。
四、两直线的交角
（1）到的角：
把直线依逆时针方向旋转到与重合时所转的角；它是有向角，其范围是；
注意：
①到的角与到的角是不一样的；②旋转的方向是逆时针方向；③绕“定点”是指两直线的交点。
（2）直线与的夹角：
是指由与相交所成的四个角的最小角（或不大于直角的角），它的取值范围是；
（3）设两直线方程分别为：
或
①若为到的角，或；
②若为和的夹角，则或；
③当或时，；
注意：
①上述与有关的公式中，其前提是两直线斜率都存在，而且两直线互不垂直；当有一条直线斜率不存在时，用数形结合法处理。
②直线到的角与和的夹角：
或；
五、点到直线的距离公式：
1.点到直线的距离为：
；
2.两平行线，的距离为：
；
六、直线系：
（1）设直线，，经过的交点的直线方程为（除去）；
如：
①，即也就是过与的交点除去的直线方程。
②直线恒过一个定点。
注意：
推广到过曲线与的交点的方程为：
；
（2）与平行的直线为；
（3）与垂直的直线为；
七、对称问题：
（1）中心对称：
①点关于点的对称：
该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点关于的对称点
②直线关于点的对称：
Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；
Ⅱ、求出一个对称点，在利用由点斜式得出直线方程；
Ⅲ、利用点到直线的距离相等。
求出直线方程。
如：
求与已知直线关于点对称的直线的方程。
（2）轴对称：
①点关于直线对称：
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。
如：
求点关于直线对称的坐标。
②直线关于直线对称：
（设关于对称）
Ⅰ、若相交，则到的角等于到的角；若，则，且与的距离相等。
Ⅱ、求出上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。
Ⅲ、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。
如：
求直线关于对称的直线的方程。
八、简单的线性规划：
（1）设点和直线，
①若点在直线上，则；②若点在直线的上方，则；
③若点在直线的下方，则；
（2）二元一次不等式表示平面区域：
对于任意的二元一次不等式，
①当时，则表示直线上方的区域；
表示直线下方的区域；
②当时，则表示直线下方的区域；
表示直线上方的区域；
注意：
通常情况下将原点代入直线中，根据或来表示二元一次不等式表示平面区域。
（3）线性规划：
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意：
①当时，将直线向上平移，则的值越来越大；
直线向下平移，则的值越来越小；
②当时，将直线向上平移，则的值越来越小；
直线向下平移，则的值越来越大；
x
y
O
A（1,1）
B（5,1）
C（4,2）
如：
在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数取得最小值的最优解有无数个，则为；
第二部分：
圆与方程
2.1圆的标准方程：
圆心，半径
特例：
圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：
.
2.2点与圆的位置关系：
1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
（1）点在圆上d=r；
（2）点在圆外d＞r；（3）点在圆内d＜r．
2.给定点及圆.
①在圆内②在圆上
③在圆外
2.3圆的一般方程：
.
当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形（称虚圆）.
注：
（1）方程表示圆的充要条件是：
且且.
圆的直径系方程：
已知AB是圆的直径
2.4直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有三种，d是圆心到直线的距离，（
（1）；
（2）；（3）。
2.5两圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
（5）；
外离外切相交内切内含
2.6圆的切线方程：
1.直线与圆相切：
（1）圆心到直线距离等于半径r；
（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）
2.圆的斜率为的切线方程是过圆上一点的切线方程为：
.
一般方程若点（x0,y0）在圆上，则（x–a）（x0–a）+（y–b）（y0–b）=R2.
特别地，过圆上一点的切线方程为.
若点（x0,y0）不在圆上，圆心为（a,b）则，联立求出切线方程.
2.7圆的弦长问题：
1.半弦、半径r、弦心距d构成直角三角形，满足勾股定理：
2.弦长公式（设而不求）：
第三部分:
椭圆
一．椭圆及其标准方程
1．椭圆的定义：
平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；
这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
（时为线段，无轨迹）。
2．标准方程：
①焦点在x轴上：
（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）
②焦点在y轴上：
（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）
注意：
①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；
②一般形式表示：
或者
二．椭圆的简单几何性质：
1.范围
（1）椭圆（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b
（2）椭圆（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3.顶点
（1）椭圆的顶点：
A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）
（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4．离心率
（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，
记作e（），
e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;
e越接近于1（e越大），椭圆越扁；
注意：
离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。
（2）椭圆的第二定义：
平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。
（）
①焦点在x轴上：
（a＞b＞0）准线方程：
②焦点在y轴上：
（a＞b＞0）准线方程：
小结一：
基本元素
（1）基本量：
a、b、c、e、（共四个量），特征三角形
（2）基本点：
顶点、焦点、中心（共七个点）
（3）基本线：
对称轴（共两条线）
5．椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.
6.几何性质
（1）焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：
（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）
（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：
其中
7直线与椭圆的位置关系：
（1）判断方法:
联立直线方程与椭圆方程消y（或x）得到关于x的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：
联立消y得：
联立消x得：
（2）弦中点问题:
斜率为k的直线l与椭圆交于两点是AB的中点，则：
（3）弦长公式：
第四部分：
双曲线
双曲线
标准方程（焦点在轴）
标准方程（焦点在轴）
定义
第一定义：
平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
P
P
第二定义：
平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。
定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。
P
P
P
P
范围
，
，
对称轴
轴，轴；实轴长为,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上，；焦距：
顶点坐标
（,0）（,0）
（0,,）（0，）
离心率
1）
重要结论
（1）焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：
（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）
（3）焦点三角形（双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形）：
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
渐近线
方程
共渐近线的双曲线系方程
（）
（）
直线
升级会员 