高中数学必修二(人教版)点、直线、平面之间的位置关系证明题精选.doc
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高中数学必修二（人教版）点、直线、平面之间的位置关系证明题精选
一．解答题（共20小题，满分120分，每小题6分）
1．（6分）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：
AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．
2．（6分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求证：
PC⊥AE；
（2）求证：
CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．
3．（6分）如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．
（1）求证：
A1D1∥平面AB1D；
（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．
4．（6分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：
BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？
请说明理由．
5．（6分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．
（I）证明：
直线MN∥平面SBC；
（Ⅱ）证明：
平面SBD⊥平面SAC．
6．（6分）如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点．
（Ⅰ）若弧BC的中点为D．求证：
AC∥平面POD；
（Ⅱ）如果△PAB面积是9，求此圆锥的表面积．
7．（6分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：
平面BDF⊥平面PCF；
（Ⅱ）若AF=1，求证：
CE∥平面BDF．
8．（6分）已知，如图，P是平面ABC外一点，PA不垂直于平面ABC，E，F分别是线段AC，PC的中点，D是线段AB上一点，AB=AC，PB=PC，DE⊥EF．
（1）求证：
PA⊥BC；
（2）求证：
BC∥平面DEF．
9．（6分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，AB=2，∠DAB=60°，EF∥AC，EF=．
（Ⅰ）求证：
FC∥平面BDE；
（Ⅱ）若EA=ED，求证：
AD⊥BE．
10．（6分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点．
（1）求异面直线AC与B1D所成的角；
（2）若B1D⊥平面ACE，求三棱锥A﹣CDE的体积．
11．（6分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A=AB=2，∠ABC=，E，F分别是BC，A1C的中点．
（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；
（2）点M在线段A1D上，=λ．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．
12．（6分）如图，六面体ABCDE中，面DBC⊥面ABC，AE⊥面ABC．
（1）求证：
AE∥面DBC；
（2）若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：
AD⊥DC．
13．（6分）如图：
在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AB=2．
（Ⅰ）证明：
BC⊥平面AMN；
（Ⅱ）求三棱锥N﹣AMC的体积；
（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．
14．（6分）在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且==．求证：
①点E，F，G，H四点共面；
②直线EH，BD，FG相交于一点．
15．（6分）如图长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=BC=1，AA'=2，E、F分别是BB′、A'B'的中点．
（1）求证：
E、F、C、D'四点共面；
（2）求异面直线AC、C'E夹角的余弦值．
16．（6分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB．
（1）证明：
BC1∥平面A1CD；
（2）求异面直线BC1和A1D所成角的大小．
17．（6分）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，且AC=AA1．
（1）求证：
AB⊥A1C；
（2）求异面直线A1C与BB1所成角的大小．
18．（6分）（文科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，
AC=BC=1，CD=，
求
（1）AC与平面BCD所成角的大小；
（2）异面直线AB和CD的大小．
19．（6分）三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，，BC=3．点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
（1）证明：
BC∥平面PDA；
（2）求二面角P﹣AD﹣C的大小；
（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
20．（6分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．
（1）求证：
MN∥平面PAD．
（2）若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．
高中数学必修二（人教版）点、直线、平面之间的位置关系证明题精选
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题，满分120分，每小题6分）
1．（6分）（2017•雅安模拟）如图所示，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．
（1）求证：
AC∥平面BEF；
（2）求四面体BDEF的体积．
【考点】LS：
直线与平面平行的判定；L@：
组合几何体的面积、体积问题；LF：
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【专题】15：
综合题．
【分析】
（1）设正方形ABCD的中心为O，取BE中点G，连接FG，OG，由中位线定理，我们易得四边形AFGO是平行四边形，即FG∥OA，由直线与平面平行的判定定理即可得到AC∥平面BEF；
（2）由已知中正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，我们可以得到AB⊥平面ADEF，结合DE=DA=2AF=2．分别计算棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式即可求出四面体BDEF的体积．
【解答】证明：
（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，
所以，OG∥DE，且OG=DE．
因为AF∥DE，DE=2AF，
所以AF∥OG，且OG=AF，
从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．
因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，
所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
解：
（2）因为平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
所以AB⊥平面ADEF．因为AF∥DE，∠ADE=90°，DE=DA=2AF=2
所以△DEF的面积为S△DEF=×ED×AD=2，
所以四面体BDEF的体积V=•S△DEF×AB=（12分）
【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定及棱锥的体积，
（1）的关键是证明出FG∥OA，
（2）的关键是得到AB⊥平面ADEF，即四面体BDEF的高为AB．
2．（6分）（2017•广西一模）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）求证：
PC⊥AE；
（2）求证：
CE∥平面PAB；
（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．
【考点】LS：
直线与平面平行的判定；LF：
棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】31：
数形结合．
【分析】
（1）取PC中点F，利用等腰三角形的性质可得PC⊥AF，先证明CD⊥平面PAC，可得CD⊥PC，从而EF⊥PC，故有PC⊥平面AEF，进而证得PC⊥AE．
（2）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB．
（3）由
（1）知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC，求得EF的值，代入V=进行运算．
【解答】解：
（1）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=，AC=2．取PC中点F，连AF，EF，
∵PA=AC=2，∴PC⊥AF．
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∠ACD=90°，即CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∴EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AE．
（2）证明：
取AD中点M，连EM，CM．则
EM∥PA．∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB．
（3）由
（1）知AC=2，EF=CD，且EF⊥平面PAC．在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2，得EF=．
则V=．
【点评】本题考查证明线面平行、线线垂直的方法，取PC中点F，AD中点M，利用三角形的中位线的性质是解题的关键．
3．（6分）（2017•汉中二模）如图，在棱长均为4的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．
（1）求证：
A1D1∥平面AB1D；
（2）若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．
【考点】LS：
直线与平面平行的判定；LF：
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【专题】11：
计算题；14：
证明题．
【分析】
（1）欲证A1D1∥平面AB1D，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1D1与平面AB1D内一直线平行，连接DD1，根据中位线定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，则四边形B1BDD1为平行四边形，同理可证四边形AA1D1D为平行四边形，则A1D1∥AD
又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，满足定理所需条件；
（2）根据面面垂直的性质定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高，求出三棱锥A﹣B1BC的体积，从而求出三棱锥B1﹣ABC的体积．
【解答】解：
（1）证明：
连接DD1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∵D、D1分别是BC和B1C1的中点．
∴B1D1∥BD，且B1D1=BD
∴四边形B1BDD1为平行四边形
∴BB1∥DD1，且BB1=DD1
又因AA1∥BB1，AA1=BB1
所以AA1∥DD1，AA1=DD1
所以四边形AA1D1D为平行四边形，所以A1D1∥AD
又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D
故A1D1∥平面AB1D；
（2）在△ABC中，棱长均为4，则AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC
因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC
所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A﹣B1BC的高
在△ABC中，AB=AC=BC=4得AD=2
在△B1BC中，B1B=BC=4，∠B1BC=60°
所以△B1BC的面积为4
∴三棱锥B1﹣ABC的体积即为三棱锥A﹣B1BC的体积V=××=8
【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了推理论证的能力、计
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