题型二、不等式中的恒成立问题
【例2】 关于x的不等式（1＋m）x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0，对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
⇔
⇔⇔m＜0.
综上，m的取值范围为m≤0.
【类题通法】
不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅的条件为
【对点训练】
2．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
解：
当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；
当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需
解得a＞.
综上，所求实数a的取值范围为.
题型三、一元二次不等式的实际应用
【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
[解]
（1）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为a（1＋2x%）万担，收购总金额为200a（1＋2x%）．
依题意得，y＝200a（1＋2x%）（10－x）%
＝a（100＋2x）（10－x）（0＜x＜10）．
（2）原计划税收为200a·10%＝20a（万元）．
依题意得，a（100＋2x）（10－x）≥20a×83.2%，
化简得x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，
∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
【类题通法】
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：
（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；
（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
（3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
【对点训练】
3．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
解：
设花卉带的宽度为xm，则中间草坪的长为（800－2x）m，宽为（600－2x）m．根据题意可得（800－2x）（600－2x）≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即（x－600）（x－100）≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．
故所求花卉带宽度的范围为（0,100]m.
【练习反馈】
1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}
解析：
选B ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4
C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4
解析：
选A 依题意应有Δ＝a2－16≤0，
解得－4≤a≤4，故选A.
3．不等式≤3的解集为________．
解析：
≤3⇔－3≤0⇔≥0⇔x（2x－1）≥0且x≠0⇔x<0或x≥.
答案：
4．若函数f（x）＝log2（x2－2ax－a）的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：
已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0
对任意x∈R恒成立．
∴Δ＝（－2a）2＋4a＜0.
解得－1＜a＜0.
答案：
（－1,0）
5．你能用一根长为100m的绳子围成一个面积大于600m2的矩形吗？
解：
设围成的矩形一边的长为xm，则另一边的长为（50－x）m，且0＜x＜50.
由题意，得围成矩形的面积S＝x（50－x）＞600，
即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.
所以，当矩形一边的长在（20,30）的范围内取值时，能围成一个面积大于600m2的矩形．
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