高中数学必修2知识点大全和例题讲义.doc
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第1讲第1章§1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
¤知识要点：
结构特征
图例
棱柱
（1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形；
（2）侧棱平行且相等.
圆柱
（1）两底面相互平行；
（2）侧面的母线平行于圆柱的轴；
（3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱锥
（1）底面是多边形，各侧面均是三角形；
（2）各侧面有一个公共顶点.
圆锥
（1）底面是圆；
（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱台
（1）两底面相互平行；
（2）是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分.
圆台
（1）两底面相互平行；
（2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分.
球
（1）球心到球面上各点的距离相等；
（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.
1.下列说法错误的是（）
A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形答案：
D
2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为___________cm.答案：
12
3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是___________.
答案：
棱锥、棱柱、棱台、圆锥
第2讲§1.1.2简单组合体的结构特征
¤例题精讲：
【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（）.
A.1个B.2个C.3个D.4个选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为，求球的半径.
解：
圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为，
所以，球的半径为.
第3讲§1.2.2空间几何体的三视图
¤例题精讲：
【例1】画出下列各几何体的三视图：
解：
【例2】画出下列三视图所表示的几何体.
解：
【例3】如图，图
（1）是常见的六角螺帽，图
（2）是一个机器零件（单位：
cm），所给的方向为物体的正前方.试分别画出它们的三视图.
解
第4讲§1.2.3空间几何体的直观图
¤知识要点：
“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法.基本步骤如下：
（1）建系：
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为.
（2）平行不变：
已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.（3）长度规则：
已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
第5讲§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积
¤学习目标：
了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.
¤知识要点：
表面积相关公式
表面积相关公式
棱柱
圆柱
（r：
底面半径，h：
高）
棱锥
圆锥
（r：
底面半径，l：
母线长）
棱台
圆台
（r：
下底半径，r’：
上底半径，l：
母线长）
¤例题精讲：
【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：
【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.
解：
.
第6讲§1.3.1柱体、锥体、台体的体积
¤知识要点：
1.体积公式：
体积公式
体积公式
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
棱台
圆台
2.柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.因而体积会有以下的关系：
.
¤例题精讲：
【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是.解：
设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得.所以，长方体的体积为6.
【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
解：
如图，设所截等腰三角形的底边边长为.
在中，,所以,于是.依题意函数的定义域为.
【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .
解：
容器中水的体积为.流出水的体积为，如图，.设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则，解得.
第7讲§1.3.2球的体积和表面积
¤知识要点：
1.表面积：
（R：
球的半径）.2.体积：
.
¤例题精讲：
【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积.
解：
设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，又∵，∴，∴，∴，∴.
【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）.A． B． C． D．
【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.∵AB=BC=CD=DA=3，∴四边形为正方形.∴小圆半径.
由得，解得.∴球的体积.所以选A.
第8讲§2.1.1平面
¤知识要点：
1.点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.
2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
3.公理2的三条推论：
推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.
¤例题精讲：
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？
【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：
EF、GH、AC三线共点.
解：
∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC.同理P面ADC.∵P在面ABC与面ADC的交线上，又∵面ABC∩面ADC=AC，∴PAC，即EF、HG、AC三线共点.
【例3】求证：
两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.
已知：
直线两两相交，交点分别为，求证：
直线共面.
证明：
因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．因为A∈α，B∈α，所以ABα．同理BCα，ACα.所以AB，BC，CA三直线共面．
【例4】在正方体中，
（1）与是否在同一平面内？
（2）点是否在同一平面内？
（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.
解：
（1）在正方体中，∵，∴由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内.
（2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面，∴点在同一平面内.
（3）∵，，∴点平面，平面，又平面，平面，∴平面平面，同理平面平面．
第9讲§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
¤知识要点：
1.空间两条直线的位置关系：
2.已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：
选点→平移→定角→计算.
¤例题精讲：
【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（）.
A.1条B.2条C.3条D.4条
解：
过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线．过点P与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.
【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.
（1）求证：
D、B、F、E四点共面；
（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：
P、Q、R三点共线.
证明：
（1）∵正方体中，，∴.又∵中，E、F为中点，∴.∴,即D、B、F、E四点共面.
（2）∵，，，，∴.又，∴，，∴.即P、Q、R三点共线
【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：
a、b、c、d四线共面.
证明：
因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得.
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.
假设，则,在平面内过点C作，
因为b//c，则，此与矛盾.故直线.
综上述，a、b、c、d四线共面.
【例4】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.
（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；
（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.
解：
（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°，∴AB1和CC1所成的角是45°.
（2）如图，连结DA1、A1C1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.
第10讲§2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系
¤知识要点：
1.直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面内（有无数个公共点）；
（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）.分别记作：
；；.
2.两平面的位置关系：
平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；.
¤例题精讲：
【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.
解：
分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2，∴PM=PN=1.而AN=DN=，由MN⊥AD，AM=1，得MN=，
∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.
【例2】在空间四边
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