高中数学复习知识点圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结.doc
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1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：
椭圆中，与两个定点的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于，定义中的“绝对值”与不可忽视。
若，则轨迹是以为端点的两条射线，若，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
比如：
①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
A． B．
C． D．（答：
C）；
②方程表示的曲线是_____（答：
双曲线的左支）
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：
2）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：
焦点在x轴上时（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时。
方程表示椭圆的充要条件是什么？
（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
比如：
已知方程表示椭圆，则k的取值范围为____（答：
）；
（2）双曲线：
焦点在x轴上：
，焦点在y轴上：
。
方程表示双曲线的充要条件是什么？
（ABC≠0，且A，B异号）。
比如：
双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：
）；
（3）抛物线：
开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：
由分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：
）
（2）双曲线：
由项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：
焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：
（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点、的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；
（2）在椭圆中，a最大，，在双曲线中，c最大，。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以为例）：
①范围：
；②焦点：
两个焦点；③对称性：
两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：
两条准线；⑤离心率：
，椭圆，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
比如：
若椭圆的离心率，则m的值是__（答：
3或）；
（2）双曲线（以为例）：
①范围：
；②焦点：
两个焦点；③对称性：
两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：
两条准线；⑤离心率：
，双曲线，等轴双曲线，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：
。
比如：
双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______（答：
或）；
（3）抛物线（以为例）：
①范围：
；②焦点：
一个焦点，其中p的几何意义是：
焦点到准线的距离；③对称性：
一条对称轴y=0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：
一条准线；⑤离心率：
，抛物线。
如设，则抛物线的焦点坐标为________（答：
）；
5、点和椭圆的关系：
（1）点在椭圆外；
（2）点在椭圆上；
（3）点在椭圆内
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：
直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
比如：
若直线y=kx+2与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：
）；
（2）相切：
直线与椭圆相切；直线与双曲线相切；直线与抛物线相切；
（3）相离：
直线与椭圆相离；直线与双曲线相离；直线与抛物线相离。
特别提醒：
（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
（2）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：
一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；
（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
比如：
①过点（2,4）作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______（答：
2）；
②对于抛物线C：
，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：
与抛物线C的位置关系是_______（答：
相离）； ③求椭圆上的点到直线的最短距离（答：
）；[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 手机版地址]
7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：
利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r=ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。
比如：
①已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：
）；
②椭圆内有一点p（1,-1），F为右焦点，在椭圆上有一点M，使之值最小，则点M的坐标为_______（答：
）
8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：
常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。
设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为，则在椭圆中，①，且当即P为短轴端点时，最大为；②，当即P为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线的焦点三角形有：
①；②。
比如：
短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：
6）；
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：
（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（2）设AB为焦点弦，M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为，若P为的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
10、弦长公式：
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。
特别地，焦点弦（过焦点的弦）：
焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
比如：
过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：
3）；
11、圆锥曲线的中点弦问题：
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
比如：
如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：
）；
12．你了解下列结论吗？
（1）双曲线的渐近线方程为；
（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为（为参数，≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②
（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点（2p,0）
13．动点轨迹方程：
（1）求轨迹方程的步骤：
建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
（2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：
直接利用条件建立x,y之间的关系F（x,y）=0；
如已知动点P到定点F（1,0）和直线x=3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：
或）；
②待定系数法：
已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）（m>0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：
）；[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址 手机版地址]
③定义法：
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
如点M与点F（4,0）的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______（答：
）；
④代入转移法：
动点P（x,y）依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；
如动点P是抛物线上任一点，定点为A（0,-1）,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：
）；
⑤参数法：
当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
如若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____（答：
）；
注意：
①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
如已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段与该椭圆的交点，点T在线段上，并且满足
（1）设x为点P的横坐标，证明；
（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：
在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（答：
（1）略；
（2）；（3）当时不存在；当时存在，此时∠F1MF2＝2）
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合（如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式）、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1）给出直线的方向向量；
（2）给出与AB相交,等于已知过AB的中
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