高中数学基本不等式题型总结.doc

高中数学基本不等式题型总结.doc

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专题基本不等式编者：

高成龙

专题基本不等式

【一】基础知识

基本不等式：

（1）基本不等式成立的条件：

；

（2）等号成立的条件：

当且仅当时取等号.

2.几个重要的不等式

（1）；

（2）；

【二】例题分析

【模块1】“1”的巧妙替换

【例1】已知，且，则的最小值为.

【变式1】已知，且，则的最小值为.

【变式2】（2013年天津）设，则的最小值为.

【例2】（2012河西）已知正实数满足，则的最小值为.

【变式】已知正实数满足，则的最小值为.

【例3】已知，且，则的最小值为.

【例4】已知正数满足，则的最小值为.

【例5】已知，若不等式总能成立，则实数的最大值为.

【例6】（2013年天津市第二次六校联考）已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，且△为直角三角形，则的最小值为.

【例7】（2012年南开二模）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为.

【例8】设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为

【例9】已知，则的最小值是（）

A．6B．5C．D．

【例10】已知函数，若，且，则的最小值为.

【模块二】“和”与“积”混合型

【例1】（2012年天津）设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为.

【例2】设，，若，，则的最大值为_______.

【例3】若实数满足，则的最大值为.

【例4】（2013年南开一模）已知正实数满足，则的最小值为.

【例5】设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）

（A）（B）

（C）（D）

【例6】已知，且成等比数列，则的最小值为.

【例7】（2015天津）已知则当的值为时取得最大值.

【例8】（2011年天津）已知，则的最小值为.

【例9】下列说法正确的是（）

A．函数的最小值为

B．函数的最小值为

C．函数的最小值为

D．函数的最小值为

【例10】设的最小值是（）

A．10B．C．D．

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