高中数学向量专题-中档难度题目最全汇总.doc

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高中数学向量专题

一．选择题（共27小题）

1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．3

2．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（　　）

A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣

3．已知点G是△ABC内一点，满足++=，若∠BAC=，•=1，则||的最小值是（　　）

A． B． C． D．

4．已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0

5．已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|﹣|，则|t﹣|+|t﹣|（t∈R）的最小值是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且=x，则的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．

7．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若，且，则实数λ的值为（　　）

A． B． C．6 D．

8．已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（　　）

A． B． C． D．

9．已知：

||=1，||=，⋅=0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设=m+n（m，n∈R），则的值为（　　）

A．2 B． C．3 D．4

10．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（　　）

A．[1，1+] B．[2﹣，2+] C．[] D．[3﹣2，3+2]

11．已知平面内任意不共线三点A，B，C，则的值为（　　）

A．正数 B．负数

C．0 D．以上说法都有可能

13．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=4，则的最小值是（　　）

A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12

14．已知O是正方形ABCD的中心．若=，其中λ，μ∈R，则=（　　）

A． B．﹣2 C． D．

15．△ABC所在平面上一点P满足++=，则△PAB的面积与△ABC的面积比为（　　）

A．2：

3 B．1：

3 C．1：

4 D．1：

6

16．在△ABC中，若BC=8，BC边上中线长为3，则•=（　　）

A．﹣7 B．7 C．﹣28 D．28

17．已知O是正△ABC的中心．若=，其中λ，μ∈R，则的值为（　　）

A． B． C． D．2

18．设△ABC的面积为S，若，tanA=2，则S=（　　）

A．1 B．2 C． D．

19．已知向量，，为平面向量，||=||=2=1，且使得﹣2与﹣所成夹角为，则||的最大值为（　　）

A． B． C．1 D．+1

20．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：

S2：

S3等于（　　）

A．3：

2：

1 B．3：

1：

2 C．6：

1：

2 D．6：

2：

1

21．已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（　　）

A． B． C． D．﹣1

22．已知向量，满足||=2，||==3，若（﹣2）•（﹣）=0，则||的最小值是（　　）

A．2﹣ B．2+ C．1 D．2

23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点G在AD上，且是△ABC的重心，则用向量表示为（　　）

A． B．

C． D．

24．设O是平面ABC内一定点，P为平面ABC内一动点，若=，则O为△ABC的（　　）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

25．已知平面向量，，满足||=||=||=1，若•=，则（2+）（﹣）的最小值为（　　）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣1 D．0

26．已知O是△ABC内部一点，且3=，则△OBC的面积与△ABC的面积之比为（　　）

A． B．1 C． D．2

27．已知向量满足：

，若，的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共3小题）

28．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∠ADC=45°，AD=2，BC=1，P是腰CD上的动点，则|3+|的最小值为　　．

29．已知向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则|2+|=　　．

30．已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足+=0，++=，若||=4，||=2，S△APQ=，则•的值为　　．

2018年09月30日186****1015的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共27小题）

1．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．3

【分析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．

【解答】解：

如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，

以DC所在的直线为y轴，

过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，

∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，

∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，

∴DN=1+=，

∴BM=，

∴CM=MBtan30°=，

∴DC=DM+MC=，

∴A（1，0），B（，），C（0，），

设E（0，m），

∴=（﹣1，m），=（﹣，m﹣），0≤m≤，

∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，

当m=时，取得最小值为．

故选：

A．

2．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（　　）

A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣

【分析】把等式﹣4•+3=0变形，可得得，即（）⊥（），设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，再由已知得到的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上，画出图形，数形结合得答案．

【解答】解：

由﹣4•+3=0，得，

∴（）⊥（），

如图，不妨设，

则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，

又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．

不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．

即．

故选：

A．

3．已知点G是△ABC内一点，满足++=，若∠BAC=，•=1，则||的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】用，表示出，利用基本不等式得出|AB|2+|AC|2的最小值即可．

【解答】解：

∵点G是△ABC内一点，满足++=，∴G是△ABC的重心，

∴=（+），

∴=（2+2+2•）=（|AB|2+|AC|2）+，

∵•=|AB|•|AC|=1，∴|AB|•|AC|=2，

∴AB2+AC2≥2|AB|•|AC|=4，

∴2≥=．

∴||≥．

故选：

C．

4．已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0

【分析】根据题意，以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的数量积即可求出

【解答】解：

∵△ABC中，，AB=AC=1，

以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则B（1，0），C（0，1）

设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，

∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），

∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，

故的最小值为﹣2，

故选：

B．

5．已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|﹣|，则|t﹣|+|t﹣|（t∈R）的最小值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】由题意对任意x∈R，有，两边平方整理．由判别式小于等于0，可得（﹣）⊥，运用数量积的定义可得即有||=1，画出=，=，建立平面直角坐标系，设出A，B的坐标，求得|t﹣|+|t﹣|的坐标表示，运用配方和两点的距离公式，结合三点共线，即可得到所求最小值．

【解答】解：

向量，夹角为，，对任意x∈R，有，

两边平方整理可得x22+2x•﹣（2﹣2•）≥0，

则△=4（•）2+42（2﹣2•）≤0，

即有（2﹣•）2≤0，即为2=•，

则（﹣）⊥，

由向量，夹角为，||=2，

由2=•=||•||•cos，

即有||=1，

则|﹣|==，

画出=，=，建立平面直角坐标系，如图所示；

则A（1，0），B（0，），

∴=（﹣1，0），=（﹣1，）；

∴=+

=+=2（+

表示P（t，0）与M（，），N（，﹣）的距离之和的2倍，

当M，P，N共线时，取得最小值2|MN|．

即有2|MN|=2=．

故选：

D．

6．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且=x，则的最小值为（　　）

A． B．2 C． D．

【分析】设，，由B，D，E，C共线可得x+y=2，

可得=（）（x+y）=（5++）

【解答】解：

设，，

∵B，D，E，C共线，∴m+n=1，λ+μ=1．

∵=x，则x+y=2，

∴=（）（x+y）=（5++）

则的最小值为．

故选：

D．

7．已知△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，若，且，则实数λ的值为（　　）

A． B． C．6 D．

【分析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得•=（λ+）•（﹣）=0，整理变形可得（λ﹣1）3×4×cos120°﹣9λ+16=0，解可得λ的值，即可得答案．

【解答】解：

根据题意，△ABC中，∠A=120°，且AB=3，AC=4，

若，且，

则有•=（λ+）•（﹣）=λ•﹣λ2+2﹣•=（λ﹣1）•﹣λ2+2=0，

整理可得：

（λ﹣1）3×4×cos120°﹣9λ+16=0，

解可得：

λ=

故选：

A．

8．已知、是两个单位向量，那么下列命题中的真命题是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项，综合可得答案．

【解答】解：

根据题意，设θ为、的夹角，据此依次分析选项：

对于A、、是两个单位向量，则、的方向不一定相同，则=不一定成立，A错误；

对于B、•=||||cosθ，当、不垂直时，•≠0，B错误；

对于C、•=||||cosθ=cosθ≤1，C错误；

对于D、、是两个单位向量，即||=||，则有2=2，D正确；

故选：

D．

9．已知：

||=1，||=，⋅=0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设=m+n（m，n∈R），则的值为（　　）

A．2 B． C．3 D．4

【分析】由已知建立平面直角坐标系，得到的坐标，结合=m+n求得的坐标，再由与的夹角为30°求解．

【解答】解：

∵||=1，||=，•=0，

∴建立平面直角坐标系如图：

则，，

∴=m+n=（m，），

又与的夹角为30°，

∴，则的值为3．

故选：

C．

10．已知，为单位向量，且，向量满足|﹣﹣|=2，则||的范围为（　　）

A．[1，1+] B．[2﹣，2+] C．[] D．[3﹣2，3+2]

【分析】由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足|﹣﹣|=2，可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．其圆心C（1，1），半径r=2．利用|OC|﹣r≤||