高中数学周期函数、公式的总结、推导、证明过程.docx

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周期公式

序号

公式

T

理解或者公式特点

例题

1

fx+a+fx+b=c

2|a-b|

自变量的和不是常数，两个自变量之差是常数，两个函数值相加为常数。

2

fx+a=-f（x）

即fx+a+fx=0是上一个公式的特例

2a

两个自变量之差是常数。

两个函数值相加为常数。

3

fx+a=±kfx

2a

正负号，倒数，两个自变量之差是常数。

4

fx+a=1+fx1-fx

4a

类似第3个公。

5

fx+a=1-fx1+fx

2a

类似第3个公式。

6

fx=fx+a+fx-a

例如：

fx=fx-1-fx-2

整理后：

fx-1=fx+fx-2

令x=x+1得到：

fx=fx+1+fx-1

6a

两个函数值之和等于另一个函数值，且两个作为加数的函数的自变量是x±a

7

fx+a=fx+b

|a-b|

图像向左平移a个单位，和向左平移b个单位重合。

原来两个点x坐标差的距离就是他们的周期。

两个自变量之差是常数，两个函数值相等。

8

函数f（x）的图像S有两个对称轴x=a,x=b（a≠b）

2|a-b|

对称轴多和偶函数以及一个函数图像的自对称这两个知识点相关

9

函数f（x）的图像S有两个对称中心G1a,c和G2b,c（a≠b）

2|a-b|

对称中心多和奇函数以及一个函数图像的自对称这两个知识点相关

10

函数f（x）的图像S有一个对称中心G1b,c和一条对称轴x=a，（a≠b）

4|a-b|

知识点涉及奇函数、偶函数以及函数图像的自对称

以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。

解周期问题，两种方法：

1.列举多个数据，找寻规律和周期；2.通过抽象函数直接得到周期。

1.已知f（X）是R上不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xfx+1=x+1f（x），则ff52=

解：

令x=0，f（0）=0;

令x=-12，f-12=0；

令x=12，f32=0；

令x=32，f52=0；

∴ff52=f0=0

2.定义在R上的函数f（x）满足fx=log21-x,x≤0fx-1-fx-2,x>0，则f（2009）=

解：

整理fx=fx-1-fx-2，

得到fx-1=fx+fx-2

令x=x+1得到，fx=fx+1+fx-1

由公式6知道周期为6，即fx+6=f（x），x>0

f（2009）=f334×6+5=f（5）。

由公式fx=fx-1-fx-2

得f5=f4-f3=f3-f2-f3=-f2

=-f1-f0=-（f0-f-1-f0）

=f-1=0

3.已知函数f（x）满足f1=14，4fxfy=fx+y+fx-y,x,y∈R，则f（2010）=

思路：

消元和赋值。

令x=x,y=1，则fx=fx+1+f（x-1），

根据公式6知道，f（x+6）=f（x），

∴f2010=f335×6=f（0）。

令y=0，则4fxf0=2f（x），

∵x不恒为零，∴f0=12

∴f2010=12。

下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程，并总结了推导周期过程的一般思路。

因为word输入数学公式太过麻烦，所以手写了出来，以图片的形式奉上。

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