高中数学函数知识点总结.doc
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高中数学函数知识点总结
.8.函数的三要素是什么？
如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
相同函数的判断方法：
①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）
9.求函数的定义域有哪些常见类型？
函数定义域求法：
l分式中的分母不为零；
l偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
l指数式的底数大于零且不等于一；
l对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
l正切函数
l余切函数
l反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1] ，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是（0,π）.
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10.如何求复合函数的定义域？
义域是_____________。
复合函数定义域的求法：
已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂
6、函数单调性法
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+的值域。
8数形结合法
例求函数y=+的值域。
解：
原函数可化简得：
y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A
（2），B（-8）间的距离之和。
由上图可知：
当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：
[10，+∞）
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
切记：
做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂
15.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
（1）定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系
可以变形为求的正负号或者与1的关系
（2）参照图象：
①若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；（特例：
奇函数）
②若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。
（特例：
偶函数）
（3）利用单调函数的性质：
①函数f（x）与f（x）＋c（c是常数）是同向变化的
②函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）＋f2（x）和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1
（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f（x）与在f（x）的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ（x），x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递增的；若函数u＝φ（x）,x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递减的。
（同增异减）
⑦若函数y＝f（x）是严格单调的，则其反函数x＝f－1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）都是正数
增
增
增
增
增
增
减
减
/
/
减
增
减
/
/
减
减
增
减
减
∴……）
16.如何利用导数判断函数的单调性？
值是（）
A.0 B.1 C.2 D.3
∴a的最大值为3）
17.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f（x）定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
三、复合函数奇偶性
f（g）
g（x）
f[g（x）]
f（x）+g（x）
f（x）*g（x）
奇
奇
奇
奇
偶
奇
偶
偶
非奇非偶
奇
偶
奇
偶
非奇非偶
奇
偶
偶
偶
偶
偶
18.你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T是一个周期。
）
我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：
告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：
，
同时可能也会遇到这种样子：
f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思：
函数f（x）关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于直线x=a对称。
如：
19.你掌握常用的图象变换了吗？
联想点（x,y）,（-x,y）
联想点（x,y）,（x,-y）
联想点（x,y）,（-x,-y）
联想点（x,y）,（y,x）
联想点（x,y）,（2a-x,y）
联想点（x,y）,（2a-x,0）
（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。
对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。
你要判断函数y-b=f（x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。
看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。
）
注意如下“翻折”变换：
19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
（k为斜率，b为直线与y轴的交点）
的双曲线。
应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质！
（注意底数的限定！
）
20.你在基本运算上常出现错误吗？
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x，
2、令x=0或1来求出f（0）或f
（1）
3、求奇偶性，令y=—x；求单调性：
令x+y=x1
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（－1）＝－2求f（x）在区间[－2,1]上的值域.
分析：
先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f（x）>2，f（3）＝5，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.
分析：
先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f
（1）＝3；最后脱去函数符号.
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.
分析：
（1）令y＝－1；
（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；
（3）0≤a≤2.
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：
存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1）f（0）；
（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.
分析：
（1）令x=y＝0；
（2）令y＝x≠0
例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1）f
（1）；
（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
分析：
（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1）求证：
f
（1）＝f（－1）＝0；
（2）求证：
f（x）为偶函数；
（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.
分析：
函数模型为：
f（x）＝loga|x|（a＞0）
（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；
（2）令y＝－1；
（3）由f（x）
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