高中数学(北师大版)必修1知识点.doc
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数学必修1知识点
1.集合的基本运算
;;
2.集合的包含关系:
;;
3.识记重要结论:
;;
;
4.对常用集合的元素的认识
①中的元素是方程的解,即方程的解集;
②中的元素是不等式的解,即不等式的解集;
③中的元素是函数的函数值,
即函数的值域;
④中的元素是函数的自变量,
即函数的定义域;
⑤中的元素可看成是关于的方程的解集,也可看成以方程的解为坐标的点,为点的集合,是一条直线。
5.集合的子集个数共有个;真子集有–1个;非空子集有–1个;
非空的真子集有–2个.
6.方程有且只有一个实根在内,等价于,
或且,或且.
二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:
一:
看开口方向;二:
看对称轴与所给区间的相对位置关系。
7.闭区间上的二次函数的最值问题:
二次函数在闭区间上的
最值只能在处及区间的两端点处取得。
8.;
9.由不等导相等的有效方法:
若且,则.
函数
一、函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:
A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:
y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
注:
1.定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5指数为零底不可以等于零,
2.相同函数的判断:
①定义域一致②表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关)
3.值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法(3)代换法
1方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
2、函数零点的求法:
(代数法)求方程的实数根;
(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
3、二次函数的零点:
二次函数.
(1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.
(2)△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个零点.
(3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数
无零点.
1.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)单调性性质:
①增函数+增函数=增函数;②减函数+减函数=减函数;
③增函数-减函数=增函数;④减函数-增函数=减函数;
注:
上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。
2.复合函数单调性的判断方法:
⑴如果函数和都是减函数(增函数),则在公共定义域内,
和函数也是减函数(增函数);
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
减函数
小结:
同增异减。
研究函数的单调性,定义域优先考虑。
且复合函数的单调区间是它的定义域的某个子区间。
⑵
3.函数的奇偶性(注:
奇偶函数大前提:
定义域必须关于原点对称)
⑴若是偶函数,则;偶函数的图象关于y轴对称;
偶函数在对称区间上的单调性相反。
⑵如果一个奇函数在处有定义,则;奇函数的图象关于原点对称;
奇函数在对称区间上的单调性相同。
⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式:
或者
⑷奇偶函数的图象特征:
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;
如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数.
(5)两个奇函数之和(差)为奇函数;之积(商)为偶函数。
(6)两个偶函数之和(差)为偶函数;之积(商)为偶函数。
(7)一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
(8)两个函数和复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
4.函数的图象的对称性:
函数的图象关于直线对称.
5.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(3)指数函数和的图象关于直线y=x对称.
6.若将函数的图象右移、上移个单位,得到函数的图象
7.互为反函数的两个函数的关系:
.
8.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
12.分数指数幂:
(1)(,且);
(2)(,且).
13.根式的性质:
;当为奇数时,;
当为偶数时,.
14.有理指数幂的运算性质
(1);
(2);
(3).
15.指数式与对数式的互化式:
.
16.对数的换底公式:
(,且,,且,).
推论(,且,,且,,).
17.对数有关性质:
⑴的符号有口诀“同正异负”记忆;⑵;;(3)对数恒等式:
(4);
(5)设函数,记.
若的定义域为,则,且;
若的值域为,则,且.对于的情形,需要单独检验.;
9.幂函数,指数函数,对数函数的图像及性质分析
表1
幂函数
α
第一象限性质
减函数
增函数
过点(1,1)后,|α|越大,图像下落的越快
图像是向上凸的
图像是向下凸的
过定点
(1,1)
(0,0),(1,1)
表2
指数函数
对数函数
定
(0,+∞)
值
(0,+∞)
R
图象
过定点(0,,1)
过定点(1,,0)
减函数
增函数
减函数
增函数
时,;
时,
时,;
时,
时,;
时,
时,;
时,