高中数学(北师大版)必修5Word下载.doc
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[点睛]
（1）数列的定义中要把握两个关键词：
“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置．
（2）项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次．
（3）{an}与an是不同概念：
{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；
而an表示数列{an}中的第n项．
2．数列的分类
项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f（n），那么这个式子叫作数列{an}的通项公式．
（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
（2）同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
4．数列的表示方法
数列的表示方法一般有三种：
列表法、图像法、解析法．
1．判断下列结论是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）同一数列的任意两项均不可能相同．（ ）
（2）数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．（ ）
（3）数列中的每一项都与它的序号有关．（ ）
答案：
（1）×
（2）×
（3）√
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为（ ）
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
解析：
选B 把n＝1,2,3,4分别代入an＝中，依次得到0,1,0,1.
3．已知数列{an}中，an＝2n＋1，那么a2n＝（ ）
A．2n＋1 B．4n－1
C．4n＋1 D．4n
选C ∵an＝2n＋1，∴a2n＝2（2n）＋1＝4n＋1.
4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x的值是（ ）
A．12 B．13
C．15 D．16
选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4，
∴∴x＝15.
数列的概念与分类
[典例] 下列各式哪些是数列？
若是数列，哪些是有穷数列？
哪些是无穷数列？
（1）{0,1,2,3,4}；
（2）0,1,2,3；
（3）0,1,2,3,4，…；
（4）1，－1,1，－1,1，－1，…；
（5）6,6,6,6,6.
[解]
（1）是集合，不是数列；
（2）（3）（4）（5）是数列．
其中（3）（4）是无穷数列，
（2）（5）是有穷数列．
数列分类的判断方法
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
[活学活用]
下列说法中，正确的是（ ）
A．数列0,2,4,6可表示为{0,2,4,6}
B．数列1,3,5,7,9，…的通项公式可记为an＝2n＋1
C．数列2013,2014,2015,2016与数列2016,2015，2014，2013是相同的数列
D．数列{an}的通项公式an＝，则它的第k项是1＋
选D 数列与数的集合的概念不同，A不正确；
当n∈N＋时，没有第一项1，所以B不正确；
C中两个数列中数的排列次序不同，故是不同的数列，所以选D.
根据数列的前几项写出数列的通项公式
[典例] 分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出．
（1），，，，…；
（2）－，，－，，…；
（3）0.9,0.99,0.999,0.9999，….
[解]
（1）该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5恰比项数多1.
分子中的22,32,42,52恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为an＝.
（2）该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子（－1）n，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×
2,2×
3,3×
4,4×
5，
则它的一个通项公式为an＝（－1）n.
（3）0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001,
0．9999＝1－0.0001，
而0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，
∴它的一个通项公式为an＝1－10－n.
由数列的前几项求通项公式的解题策略
（1）负号用（－1）n与（－1）n＋1（或（－1）n－1）来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．
（2）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项要充分借助分子、分母的关系．
（3）此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化等方法．
写出下列数列的一个通项公式：
（1）0,3,8,15,24，…；
（2），2，，8，，…；
（3）1，2，3，4，….
解：
（1）观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1.
（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：
，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝.
（3）此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为an＝n＋＝.
利用通项公式确定数列的项
[典例] 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
（1）写出数列的第4项和第6项；
（2）－49和68是该数列的项吗？
若是，应是第几项？
若不是，请说明理由．
[解]
（1）∵an＝3n2－28n，
∴a4＝3×
42－28×
4＝－64，
a6＝3×
62－28×
6＝－60.
（2）令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，
解得n＝7，或n＝（舍）．
∴－49是该数列的第7项，
即a7＝－49.
令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，
解得n＝－2，或n＝.
∵－2∉N＋，∉N＋，∴68不是该数列的项．
（1）数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
（2）判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项列方程．若方程的解为正整数，则是数列的项；
若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的项．
已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍．
（1）求这个数列的第4项与第25项；
（2）253和153是不是这个数列中的项？
如果是，是第几项？
（1）由题设条件，知an＝＋2n.
∴a4＝＋2×
4＝10，a25＝＋2×
25＝55.
（2）假设253是这个数列中的项，则253＝＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项．
假设153是这个数列中的项，则153＝＋2n，解得n＝72，这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．
层级一 学业水平达标
1．数列的通项公式为an＝则a2·
a3等于（ ）
A．70 B．28
C．20 D．8
选C 由an＝得a2＝2，a3＝10，所以a2·
a3＝20.
2．下列叙述正确的是（ ）
A．同一个数在数列中可能重复出现
B．数列的通项公式是定义域为正整数集N＋的函数
C．任何数列的通项公式都存在
D．数列的通项公式是唯一的
选A 数列的通项公式的定义域是正整数集N＋或它的有限子集，选项B错误；
并不是所有数列都有通项公式，选项C错误；
数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝（－1）n，也可以写成an＝（－1）n＋2，选项D错误．故选A.
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的（ ）
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
选C 由n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6（舍去）．
4．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为（ ）
A．an＝2n－1B．an＝（－1）n（1－2n）
C．an＝（－1）n（2n－1）D．an＝（－1）n（2n＋1）
选B 当n＝1时，a1＝1排除C、D；
当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B.
5．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的（ ）
A．第100项 B．第12项
C．第10项 D．第8项
选C 由an＝，令＝0.08，解得n＝10或n＝（舍去）．
6．数列1,2,4,8,16,32，…的一个通项公式为________．
由a1＝20，a2＝21，a3＝22，a4＝23，…易得an＝2n－1.
an＝2n－1
7．600是数列1×
5，…的第________项．
由题意知，数列的通项公式an＝n（n＋1），令an＝n（n＋1）＝600，解得n＝24或n＝－25（舍去）．
24
8．已知曲线y＝x2＋1，点（n，an）（n∈N＋）位于该曲线上，则a10＝________.
∵点（n，an）位于曲线y＝x2＋1上，∴an＝n2＋1，故a10＝102＋1＝101.
101
9．根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项．
（1）an＝；
（2）an＝sin；
（3）an＝2n＋1.
（1）在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为0,1，，，.
（2）在通项公式中依次取n＝1,2,3,4,5，得到数列{an}的前5项为1,0，－1,0,1.
（3）在通项公式中依次取n
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