高中数学北师大版必修1全册知识点总结北师大高中数学必修五电子课本.docx

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[高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结]北师大高中数学必修五电子课本

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合.

（2）常用数集及其记法表示自然数集或表示正整数集表示整数集表示有理数集表示实数集.

（3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是或者两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法：

用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：

把集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合.③描述法：

{|具有的性质}其中为集合的代表元素.④图示法：

用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称记号意义性质示意图子集

（或A中的任一元素都属于B

（1）AA

（2）（3）若且则（4）若且则或

真子集AB

（或BA）

且B中至少有一元素不属于A

（1）（A为非空子集）

（2）若且则

集合相等

A中的任一元素都属于BB中的任一元素都属于A

（1）AB

（2）BA

（7）已知集合有个元素则它有个子集它有个真子集它有个非空子集它有非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集

且

（1）

（2）

（3）

⑷Α⊆B⟺A∩B=A

并集

或

（1）

（2）

（3）

⑷A⊆B⟺A∪B=B

补集∁uA

⑴（∁uA）∩A=∅,⑵∁uA∪A=U,⑶∁u∁uA=A,⑷∁uA∩B=∁uA∪∁uB,⑸∁u（A∪B）=（∁uA）∩（∁uB）

⑼集合的运算律：

交换律：

结合律:

分配律:

0-1律：

等幂律：

求补律：

A∩∁uA=∅A∪CuA=U∁uU=∅∁u∅=U反演律：

∁u（A∩B）=（∁uA）∪（∁uB）∁u（A∪B）=（∁uA）∩（∁uB）

第二章函数§1函数的概念及其表示

一、映射1．映射：

设A、B是两个集合如果按照某种对应关系f对于集合A中的

元素在集合B中都有

元素和它对应这样的对应叫做

到

的映射记作

.2．象与原象：

如果f:

A→B是一个A到B的映射那么和A中的元素a对应的

叫做象

叫做原象。

二、函数1．定义：

设A、B是

f:

A→B是从A到B的一个映射则映射f:

A→B叫做A到B的

记作

.2．函数的三要素为

、

、

两个函数当且仅当

分别相同时二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有

、

、

。

§2函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式

的集合.2．常见的三种题型确定定义域：

①已知函数的解析式就是

.②复合函数f[g（x）]的有关定义域就要保证内函数g（x）的

域是外函数f（x）的

域.③实际应用问题的定义域就是要使得

有意义的自变量的取值集合.二、值域：

1．函数y＝f（x）中与自变量x的值

的集合.2．常见函数的值域求法就是优先考虑

取决于

常用的方法有：

①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为

法和

法）

例如：

①形如y＝可采用

法；②y＝可采用

法或

法；③y＝a[f（x）]2＋bf（x）＋c可采用

法；④y＝x－可采用

法；⑤y＝x－可采用

法；⑥y＝可采用

法等.

§3函数的单调性

一、单调性1．定义：

如果函数y＝f（x）对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2当x1、<x2时①都有

则称f（x）在这个区间上是增函数而这个区间称函数的一个

；②都有

则称f（x）在这个区间上是减函数而这个区间称函数的一个

.若函数f（x）在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间则f（x）称为

.2．判断单调性的方法：

（1）定义法其步骤为：

①

；②

；③

.

（2）导数法若函数y＝f（x）在定义域内的某个区间上可导①若

则f（x）在这个区间上是增函数；②若

则f（x）在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1．若f（x）,g（x）均为增（减）函数则f（x）＋g（x）

函数；2．若f（x）为增（减）函数则－f（x）为

；3．互为反函数的两个函数有

的单调性；4．复合函数y＝f[g（x）]是定义在M上的函数若f（x）与g（x）的单调相同则f[g（x）]为

若f（x）,g（x）的单调性相反则f[g（x）]为

.5．奇函数在其对称区间上的单调性

偶函数在其对称区间上的单调性

.

§4函数的奇偶性

1．奇偶性：

①定义：

如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有

则称f（x）为奇函数；若

则称f（x）为偶函数.如果函数f（x）不具有上述性质则f（x）不具有

.如果函数同时具有上述两条性质则f（x）

.②简单性质：

1）图象的对称性质：

一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于

对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于

对称.2）函数f（x）具有奇偶性的必要条件是其定义域关于

对称.2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数）都可以得出的周期为

；②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称均可以得到周期

第三章　指数函数和对数函数§1　正整数指数函数§2　指数扩充及其运算性质

1．正整数指数函数函数y＝ax（a0a≠1x∈N＋）叫作________指数函数；形如y＝kax（k∈Ra0且a≠1）的函数称为________函数．2．分数指数幂

（1）分数指数幂的定义：

给定正实数a对于任意给定的整数mn（mn互素）存在唯一的正实数b使得bn＝am我们把b叫作a的次幂记作b＝；

（2）正分数指数幂写成根式形式：

＝（a0）；（3）规定正数的负分数指数幂的意义是：

＝__________________（a0m、n∈N＋且n1）；（4）0的正分数指数幂等于____0的负分数指数幂__________．3．有理数指数幂的运算性质

（1）aman＝________（a0）；

（2）（am）n＝________（a0）；（3）（ab）n＝________（a0b0）．§3　指数函数

（一）1．指数函数的概念一般地________________叫做指数函数其中x是自变量函数的定义域是____．2．指数函数y＝ax（a0且a≠1）的图像和性质

a10<a<1

图像

定义域R值域（0＋∞）性质过定点过点______即x＝____时y＝____函数值的变化当x0时______；当x<0时________当x0时________；当x<0时________单调性是R上的________是R上的________§4　对数

（二）1．对数的运算性质如果a0且a≠1M0N0则：

（1）loga（MN）＝________________；

（2）loga＝________；（3）logaMn＝__________（n∈R）．2．对数换底公式logbN＝（ab0ab≠1N0）；特别地：

logab·logba＝____（a0且a≠1b0且b≠1）．§5　对数函数

（一）

1．对数函数的定义：

一般地我们把______________________________叫做对数函数其中x是自变量函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.2．对数函数的图像与性质

定义y＝logax（a0且a≠1）底数a10<a<1

图像

定义域______值域______单调性在（0＋∞）上是增函数在（0＋∞）上是减函数共点性图像过点______即loga1＝0函数值特点x∈（0,1）时y∈______；x∈[1＋∞）时y∈______.x∈（0,1）时y∈______；x∈[1＋∞）时y∈______.对称性函数y＝logax与y＝x的图像关于______对称3.反函数对数函数y＝logax（a0且a≠1）和指数函数____________________互为反函数．第四章　函数应用§1　函数与方程1.1　利用函数性质判定方程解的存在

2．函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根也就是函数y＝f（x）的图像与x轴的交点的横坐标．3．方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图像与x轴有________⇔函数y＝f（x）有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f（x）在闭区间[ab]上的图像是连续曲线并且在区间端点的函数值符号相反即f（a）·f（b）____0则在区间（ab）内函数y＝f（x）至少有一个零点即相应的方程f（x）＝0在区间（ab）内至少有一个实数解．1.2　利用二分法求方程的近似解

1．二分法的概念每次取区间的中点将区间__________再经比较按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤（给定精确度ε）

（1）确定区间[ab]使____________．

（2）求区间（ab）的中点x1＝__________.（3）计算f（x1）．①若f（x1）＝0则________________；②若f（a）·f（x1）<0则令b＝x1（此时零点x0∈（ax1））；③若f（x1）·f（b）<0则令a＝x1（此时零点x0∈（x1b））．（4）继续实施上述步骤直到区间[anbn]函数的零点总位于区间[anbn]上当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时这个相同的近似值就是函数y＝f（x）的近似零点计算终止．这时函数y＝f（x）的近似零点满足给定的精确度．