高中推理与证明知识总结.docx
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模块十二推理与证明
²考纲解读
Ø高考大纲
考试内容
要求层次
A
B
C
合情推理与演绎推理
合情推理
P
归纳和类比
P
演绎推理
P
直接证明与间接证明
综合法
P
分析法
P
反证法
P
数学归纳法
P
Ø分析解读
（1）能利用已知结论类比未知结论，并作出判断或证明
（2）利用归纳推理猜想结论并加以证明
（3）在解答综合题目中掌握演绎推理的基本模式
（4）了解直接证明与间接证明的基本方法，体会数学证明的思考过程及特点，提升综合分析解决问题的能力
（5）掌握“归纳——猜想——证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
归纳
类比
综合法
分析法
反证法
直接证明
间接证明
数学归纳法
²知识导航
²考点剖析
Ø考点一类比推理
1、根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
2、类比推理的思维过程是：
观察、比较
联想、类推
推测新的结论
Ø考点二归纳推理
1、归纳推理的定义：
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
2、归纳推理的思维过程大致如图：
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
3、归纳推理的特点：
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
Ø考点三演绎推理
1、演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
2、主要形式是三段论式推理。
3、三段论式常用的格式为：
M——P（M是P） ①
S——M（S是M） ②
S——P（S是P） ③
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
Ø考点四直接证明
1、直接证明：
是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
2、综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
3、分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：
要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
Ø考点五间接证明
1、间接证明：
即反证法：
是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
2、反证法的一般步骤是：
反设——推理——矛盾——原命题成立。
（所谓矛盾是指：
与假设矛盾；与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾）。
3、常见的“结论词”与“反议词”如下表：
原结论词
反议词
原结论词
反议词
至少有一个
一个也没有
对所有的x都成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
¬p且¬q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
¬p或¬q
Ø考点六数学归纳法
数学归纳法证题的步骤：
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时，命题成立
（2）（归纳递推）假设时，命题成立，证明当时，命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于开始的所有正整数都成立。
²真题演练
由于北京市近五年来仅在2010年和2012年考查了该专题知识，因此本专题的“真题
演练”版块还将选取近两年其他省份的高考题作为练习。
1.【2010北京,20,13分】已知集合.对于，定义与的差为：
A与B之间的距离为.
（I）证明：
，有，且；
（II）证明：
，三个数中至少有一个是偶数；
（III）设，中有个元素，记中所有两元素间距离的平均值为.
证明：
Ø举一反三
1.1【2012江西,6,5分】观察下列各式：
则
A．28B．76C．123D．199
1.2【2012陕西,11,5分】观察下列不等式
，
……
照此规律，第五个不等式为.
1.3【2012福建,17,13分】某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
（2）sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
（3）sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin2（﹣18°）cos48°
（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin2（﹣25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
2.【2012北京，20,13分】设是由个实数组成的行列的数表，满足：
每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之和≤≤，为的第列各数之和≤≤．
记为，，…，，，，…，中的最小值．
（Ⅰ）对如下数表，求的值；
（Ⅱ）设数表形如
求的最大值；
（Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的最大值．
Ø举一反三
2.1【2012湖南,16,5分】设N=2n（n∈N*，n≥2），将N个数x1,x2,…，xN依次放入编号为1,2，…，N的N个位置，得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，将此操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当2≤i≤n-2时，将Pi分成2i段，每段个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.
（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；
（2）当N=2n（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.
2.2【2012湖北,13,5分】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：
11，22，33，…，99．3位回文数有90个：
101，111，121，…，191，202，…，999．则
（Ⅰ）4位回文数有个；
（Ⅱ）位回文数有个．
2.3【2012湖北,22,14分】（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且.求的最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：
设，为正有理数.若，则；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注：
当为正有理数时，有求导公式.
【其他省份相关高考题】
3.【2012全国,12,5分】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
（A）16（B）14（C）12（D）10
4.【2011湖南,16,5分】对于，将表示为
，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：
故）则
（1）
（2）
5.【2011陕西,13,5分】观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第个等式为.
6.【2011山东,15,4分】设函数，观察：
，，，
，……
根据上述事实，由归纳推理可得：
当，且时，。
7.【2011湖北,15,5分】给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：
由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有2种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有4种，（结果用数值表示）
²轻松驿站
高三学生怎样提高备考应试心理素质
高考虽然不是每一个高中毕业生的惟一出路，但每一个高三毕业生都希望通过高考进入高等学府深造，从而为将来立足社会打下坚实的基础。
近几年来我国高校虽然不断扩招，但高考录取率在某些地区仍然满足不了需求，每个高三毕业生仍面临着优胜劣汰的选择，有的同学由于压力过大，在复习备考过程中出现一系列的心理问题，而这些问题恰恰又制约了学生能力的发挥。
本文试图就产生这些心理问题的原因及解决办法谈谈粗浅的看法。
20世纪90年代中期，美国的丹尼尔·戈尔曼提出了“情商”理论。
这一理论的提出，可以说在全球范围内进行了一场学习的革命。
人们逐渐认识到，在日益信息化的社会里，一个人学会学习比学到什么本身更重要，每一个智力正常的人都具有学习的能力，但并不代表每个有能力的人都能获得成功。
学生学习成绩的差异，往往不是智力水平高低所造成的，而是智力以外的一些因素，如动机、兴趣、自我意识、自信心、热情专注、如何看待失败、进取心、意志力、性格品质以及人际关系等，这些叫非智力因素，它和智力因素共同制约着人的学习能力，并且起着非常重要的作用。
对于高三学生，只有充分挖掘他们的非智力因素，才能有效地调动起智力资源，提高其能力素质，帮助他们实现自己的目标。
一、高三学生学习过程中存在的心理问题
笔者对所在学校的高三年级学生进行了一次调查。
调查显示，50%的同学在学习过程中有浮躁心理，表现为做事无恒心、见异思迁、不安心，总想投机取巧，急功近利，往往“欲速则不达”；75%的学生在考试时有焦虑感，无论考试前和考试中都有不同程度的紧张，表现为胸闷、呼吸急促、手心出汗、头昏脑胀，平时很容易做出的题目这时做不出，遇到没见过的难题就更心慌，考完之后总认为没发挥出应有的正常水平；63%的学生感觉平时复习时不能长时间地集中注意力，精力容易涣散，如做着数学题，忽又想着外语要赶紧做，东一榔头西一棒槌，不知到底先学什么、后学什么，有的把学习看做是一个负担，提不起兴趣，学习时如嚼鸡肋，食之无味弃之不甘；40%的学生认为自己进步不大，因此信心不足，甚至想逃避考试。
这样一些不正常、不健康的心理活动带给学生的是学习效率低下，思维呆滞，心态疲懒，严重影响了学习进步，导致考试发挥失利或落榜。
概言之，他们在复习、备考中所表现出来的心理问题主要有缺乏自信、学习焦虑、意志力弱、心态不稳、注意力不集中。
那么，出现这些问题的症结究竟是什么呢?
二、产生异常心理的原因分析
1．考生的学习基础差容易导致学习焦虑，缺乏自信。
学习不是一朝一夕的事，基础也不
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