高中函数难题选(二).doc

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高中函数难题选

（二）

一．选择题（共5小题）

1．若关于的不等式的解集恰好是，，则的值为　　

A．5 B．4 C． D．

2．设、都是定义在实数集上的函数，定义函数，，，若，，则　　

． ．

． ．

3．设实数使得不等式对任意实数恒成立，则满足条件的所组成的集合是　　

A． B． C． D．，

4．设函数，，其中，若对任意的，，和至少有一个为非负值，则实数的最大值是　　

A．1 B． C．2 D．

5．已知函数，，，若，，，且当，，时，恒成立，则的最大值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

二．填空题（共9小题）

6．已知关于的方程在，上有实数根，，则的取值范围是　　．

7．设函数，若存在互不相等的4个实数，，，，使得，则的取值范围为　　．

8．设函数，，若关于的方程有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数的取值构成的集合　　．

9．定义域为，的函数满足，2，，且

（1），（4），成等比数列，若

（1），，则满足条件的不同函数的个数为　　．

10．已知函数，，，，给出下列四个命题：

①当时，函数在上单调递增，在，上单调递减；

②函数的图象关于轴上某点成中心对称；

③存在实数和，使得对于任意的实数恒成立；

④关于的方程的解集可能为，，0，．

则正确命题的序号为　　．

11．已知二次函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是　　．

12．若为实数，若关于的方程有实数解，则的取值范围是　　．

13．已知函数，，，若存在实数，，对任意，，都有，则的最大值是　　．

14．若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为　　．

三．解答题（共2小题）

15．已知函数

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）当，时，函数的最大值为（a），求（a）的表达式．

16．已知函数为偶函数．

（1）求实数值；

（2）记集合，，2，，，判断与的关系；

（3）当，时，若函数的值域为，，求实数，的值．

高中函数难题选

（二）参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．若关于的不等式的解集恰好是，，则的值为　　

A．5 B．4 C． D．

【解答】解：

令．对称轴为，

若，则，是方程的两个实根，解得，，矛盾，易错选；

若，则（a），（b），相减得，代入可得，矛盾，易错选；

若，则的顶点在，上，，

所以，且（a）（b），，

由（b）得到，解得（舍去）或，

可得，

由抛物线的对称轴为得到，

所以．【（否则在顶点处不满足，所以此时的解集是．所以的解集是，，所以（a）（b），由，解得，由解得，】

故选：

．

2．设、都是定义在实数集上的函数，定义函数，，，若，，则　　

． ．

． ．

【解答】解：

对于，因为，所以当时，；当时，，特别的，时，此时，

所以，故正确；

对于，由已知得，显然不等于，故错误；

对于，由已知得，显然不等于，故错误；

对于，由已知得，显然不等于，故错误．

故选：

．

3．设实数使得不等式对任意实数恒成立，则满足条件的所组成的集合是　　

A． B． C． D．，

【解答】解：

取，令，则原不等式为，即

由此易知原不等式等价于，对任意的成立．

由于

，在时，

，在时，

，时，

所以的最小值等于，

从而上述不等式等价于，即．

故选：

．

4．设函数，，其中，若对任意的，，和至少有一个为非负值，则实数的最大值是　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：

，

当，即时，，

而，

，

恒成立，

即恒成立，

故；

结合选项可知，正确；

故选：

．

5．已知函数，，，若，，，且当，，时，恒成立，则的最大值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：

函数，，

，

作出函数图象如图：

由图可知，在单调递减，单调递增，

，，，且当、，时，恒成立，

最大的单调递增区间为，，

即，

故选：

．

二．填空题（共9小题）

6．已知关于的方程在，上有实数根，，则的取值范围是　　．

【解答】解：

设方程的根为，则，

，

，

，

，

设，则，

，，，，

，

．

故答案为：

．

7．设函数，若存在互不相等的4个实数，，，，使得，则的取值范围为　　．

【解答】解：

由，

可得有4个不同实根，

当时，，

解得或，

故当时，有2个不同实根，

设，

，

当时，，递减；

当时，，递增．

则（3），又

（1），

由，且，

解得．

即的范围是．

故答案为：

．

8．设函数，，若关于的方程有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数的取值构成的集合　或　．

【解答】解：

函数，

不妨设的3个根为，，，且

当时，，解得，；

①，，，，

由，解得，满足在，上有一解．

②，在，上有两个不同的解，不妨设，，其中，

所以有，是的两个解，

即，是的两个解．

得到，，

又由设的3个根为，，成差数列，且，得到，

解得：

或（舍去）；

③，最多只有两个解，不满足题意；

综上所述，或．

故答案为：

或．

9．定义域为，的函数满足，2，，且

（1），（4），成等比数列，若

（1），，则满足条件的不同函数的个数为　176　．

【解答】解：

根据题意，若，则和中，

必须且只能有1个成立，

若

（1），，且

（1），（4），成等比数列，

则（4），

分2种情况讨论：

①、若（4），

在中，都成立，

在中，有1个，7个成立，

则有种情况，即有8个不同函数；

②、若（4），

在中，有1个成立，2个成立，有种情况，

在中，有3个，5个成立，有种情况，

则有种情况，即有168个不同函数；

则一共有个满足条件的不同函数；

故答案为：

176．

10．已知函数，，，，给出下列四个命题：

①当时，函数在上单调递增，在，上单调递减；

②函数的图象关于轴上某点成中心对称；

③存在实数和，使得对于任意的实数恒成立；

④关于的方程的解集可能为，，0，．

则正确命题的序号为　②③　．

【解答】解：

对于①，时，，因为正负不定，所以单调性不定，故错；

对于②，是奇函数左右平移得到，故正确；

对于③，当时，函数存在最大、最小值，且，函数也存在最大、最小值，故正确；

对于④，关于的方程的解的解，函数的图象关于轴上某点成中心对称，故解集不可能是，，0，，故错；

故答案为：

②③．

11．已知二次函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是　，，　．

【解答】解：

令，解得或，

，

若函数有三个不同的零点，

则在，，上有一解，

且在上有两解．

由在，，上有一解，

得或，即或．

由在上有两解，

得，

解得，即或．

综上，的范围是，，．

故答案为：

，，．

12．若为实数，若关于的方程有实数解，则的取值范围是　，　．

【解答】解：

，

，

令或，

显然当时，，

方程无解，

当时，，

，

，即，，

在，上单调递减，

令得，解得，

当时，，当时，，

方程的解必在区间，上．

令，

（1）当时，，

（1），又

（1），

为方程的解，符合题意；

（2）当时，

（1），

而

（1），

方程无解，不符合题意；

（3）当，令，

则，的图象为等轴双曲线右支在第一象限内的部分（含右顶点），

双曲线的右顶点为，，

做出和的函数图象如图所示：

方程在，上有解，，

即．

综上，．

故答案为：

．

13．已知函数，，，若存在实数，，对任意，，都有，则的最大值是　　．

【解答】解：

对任意，，都有，

（1）且

（2），

存在实数，，可得，，

令，则，，，

，

，

的最大值是，

故答案为．

14．若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为　0　．

【解答】解：

关于的不等式在上恒成立，

当时，的三个零点分别为，，

用数轴穿根法画出图象，如图所示；

则在上恒成立，；

当时，恒成立，时只需恒成立，

又，；

的最小值为0．

故答案为：

0．

三．解答题（共2小题）

15．已知函数

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）当，时，函数的最大值为（a），求（a）的表达式．

【解答】解：

（1）时，，

当时，，

此时函数为增函数；

当时，，

此时函数在，上为减函数，在，上为增函数；

综上可得：

当时，函数的单调递增区间为，，，；

（2）当，时，函数，

①当，即时，

若，，则，

故（a）

（2）；

②当，即时，

若，，则，

故（a）

（2）；

④当，即时，

若，，则，

故（a）

（2）；

综上可得：

（a）

16．已知函数为偶函数．

（1）求实数值；

（2）记集合，，2，，，判断与的关系；

（3）当，时，若函数的值域为，，求实数，的值．

【解答】解：

（1）是偶函数，

，

，

是非0实数，故，解得：

；

（2）由

（1）得，，

，，2，，0，，

而，

；

（3），

在，递增，

函数的值域是，，

，

，

解得：

，．

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2019/1/3013:

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