高中三角函数常考知识点及练习题.doc
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三角函数常考知识点及练习题
1.任意角的三角函数:
(1)弧长公式:
R为圆弧的半径,为圆心角弧度数,为弧长。
(2)扇形的面积公式:
R为圆弧的半径,为弧长。
(3)三角函数(6个)表示:
为任意角,角的终边上任意点P的坐标为,它与原点的距离为r(r>0)那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是:
,,,,,.
(4)同角三角函数关系式:
①倒数关系:
②商数关系:
,
③平方关系:
(5)诱导公式:
(奇变偶不变,符号看象限)k·/2+所谓奇偶指的是整数k的奇偶性
函数
2.两角和与差的三角函数:
(1)两角和与差公式:
注:
公式的逆用或者变形
(2)二倍角公式:
从二倍角的余弦公式里面可得出
降幂公式:
,
(3)半角公式(可由降幂公式推导出):
,,
3.三角函数的图像和性质:
(其中)
三角函数
定义域
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域
[-1,1]
[-1,1]
(-∞,+∞)
最小正周期
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
单调递增
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
对称性
零值点
最值点
,
;
,
无
4.函数的图像与性质:
(本节知识考察一般能化成形如图像及性质)
(1)函数和的周期都是
(2)函数和的周期都是
(3)五点法作的简图,设,取0、、、、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。
(4)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。
切记每一个变换总是对字母而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。
(附上函数平移伸缩变换):
函数的平移变换:
①将图像沿轴向左(右)平移个单位
(左加右减)
②将图像沿轴向上(下)平移个单位
(上加下减)
函数的伸缩变换:
①将图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的倍(缩短,伸长)
②将图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍(伸长,缩短)
函数的对称变换:
①)将图像绕轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:
图像关于轴对称)
②将图像绕轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:
图像关于轴对称)
③将图像在轴右侧保留,并把右侧图像绕轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)
④保留在轴上方图像,轴下方图像绕轴翻折上去(局部翻动)
5.三角变换:
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算、化简的方法技能。
(1)角的变换:
角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,还可作添加、删除角的恒等变形
(2)函数名称变换:
三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。
采用公式:
其中
(3)常数代换:
在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数,特别是常数“1”。
(4)幂的变换:
对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理,有时需要升幂例如:
常用升幂化为有理式。
(5)公式变形:
三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
(6)结构变化:
在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等等。
在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
(7)消元法:
如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法
(8)思路变换:
如果一种思路无法再走下去,试着改变自己的思路,通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。
(9)利用方程思想解三角函数。
如对于以下三个式子:
,
,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元。
6.函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法):
①(或型:
利用三角函数的值域,须注意对字母的讨论
②型:
引进辅助角化成再利用有界性
③型:
配方后求二次函数的最值,应注意的约束
④型:
反解出,化归为解决
⑥型:
常用到换元法:
,但须注意的取值范围:
。
(3)三角形中常用的关系:
,,,
,
练习题:
1.(08全国一6)是()
A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数
2.(08全国一9)为得到函数的图象,只需将函数的图像()
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
3.(08全国二1)若且是,则是()
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
4.(08全国二10).函数的最大值为()A.1B.C.D.2
5.(08安徽卷8)函数图像的对称轴方程可能是()
A. B. C. D.
6.(08福建卷7)函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为()A.-sinxB.sinxC.-cosxD.cosx
7.(08广东卷5)已知函数,则是()
A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数
8.(08海南卷11)函数的最小值和最大值分别为()
A.-3,1 B.-2,2 C.-3, D.-2,
9.(08湖北卷7)将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是()
A.B.C.D.
10.(08江西卷6)函数是()
A.以为周期的偶函数B.以为周期的奇函数
C.以为周期的偶函数D.以为周期的奇函数
11.若动直线与函数和的图像分别交于两点,则的最大值为()A.1 B. C. D.2
12.(08山东卷10)已知,则的值是()
A. B. C. D.
13.(08陕西卷1)等于()A. B. C. D.
14.(08四川卷4)()A.B.C.D.
15.(08天津卷6)把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是()A. B.
C. D.
16.(08天津卷9)设,,,则()
A. B. C. D.
17.(08浙江卷2)函数的最小正周期是()
A.B.C.D.
18.(08浙江卷7)在同一平面直角坐标系中,函数的图象和直线的交点个数是()A.0B.1C.2D.4
19.(08北京卷9)若角的终边经过点,则的值为.
20.(08江苏卷1)的最小正周期为,其中,则=.
21.(08辽宁卷16)设,则函数的最小值为.
22.(08浙江卷12)若,则_________。
23.(08上海卷6)函数f(x)=sinx+sin(+x)的最大值是
24.(08四川卷17)求函数的最大值与最小值。
25.(08北京卷15)已知函数()的最小正周期为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.
26.(08天津卷17)已知函数()的最小值正周期是.(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的最大值,并且求使取得最大值的的集合.
27.(08安徽卷17)已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程
(Ⅱ)求函数在区间上的值域
28.(08陕西卷17)已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令,判断函数的奇偶性,并说明理由.
练习题参考答案:
1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.C9.A10.A
11.B12.C13.B14.D15.C16.D17.B18.C
19.20.1021.22.23.2
24.解:
由于函数在中的最大值为
最小值为
故当时取得最大值,当时取得最小值
【点评】:
此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值;
【突破】:
利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范围是关键;
25.解:
(Ⅰ)
.
因为函数的最小正周期为,且,
所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因为,
所以,
所以,
因此,即的取值范围为.
26.解:
由题设,函数的最小正周期是,可得,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
当,即时,取得最大值1,所以函数的最大值是,此时的集合为
27.解:
(1)
(2)
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以当时,取最大值1
又,当时,取最小值
所以函数在区间上的值域为
28.解:
(Ⅰ).
的最小正周期.
当时,取得最小值;当时,取得最大值2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.又.
.
.
函数是偶函数.