于是，所求事件的概率为。
4.设函数f（x）=3sinx+2cosx+1。
若实数a、b、c使得af（x）+bf（x−c）=1对任意实数x恒成立，则的值等于（C）
A. B. C.−1 D.1
解：
令c=π，则对任意的x∈R，都有f（x）+f（x−c）=2，于是取，c=π，则对任意的x∈R，af（x）+bf（x−c）=1，由此得。
一般地，由题设可得，，其中且，于是af（x）+bf（x−c）=1可化为
，即
，所以
。
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，
若b=0，则由
（1）知a=0，显然不满足（3）式，故b≠0。
所以，由
（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）。
当c=2kπ时，cosc=1，则
（1）、（3）两式矛盾。
故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=−1。
由
（1）、（3）知，所以。
5.设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（A）
解：
设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1−r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。
由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。
6.已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：
A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。
若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（B）
A.62 B.66 C.68 D.74
解：
先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。
证明如下：
将{1，2，…，49}分成如下33个集合：
{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。
由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。
如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，
B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7.在平面直角坐标系内，有四个定点A（−3，0），B（1，−1），C（0，3），D（−1，3）
及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为
。
解：
如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值。
8.在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
，若，则与的夹角的余弦值等于。
解：
因为，所以，即。
因为，
，，所以，即。
设与的夹角为θ，则有，即3cosθ=2，所以。
9.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于。
解：
如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：
一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。
在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则。
同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条。
在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为。
这样的弧也有三条。
于是，所得的曲线长为。
10.已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。
若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于。
解：
因为，故由已知条件知道：
1+q+q2为，其中m为正整数。
令，则
。
由于q是小于1的正有理数，所以，即5≤m≤13且是某个有理数的平方，由此可知。
11.已知函数，则f（x）的最小值为。
解：
实际上，设，则g（x）≥0，g（x）在上是增函数，在上是减函数，且y=g（x）的图像关于直线对称，则对任意，存在，使g（x2）=g（x1）。
于是
，而f（x）在上是减函数，所以，即f（x）在上的最小值是。
12.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有3960种（用数字作答）。
解：
使2个a既不同行也不同列的填法有C42A42=72种，同样，使2个b既不同行也不同列的填法也有C42A42=72种，故由乘法原理，这样的填法共有722种，其中不符合要求的有两种情况：
2个a所在的方格内都填有b的情况有72种；2个a所在的方格内仅有1个方格内填有b的情况有C161A92=16×72种。
所以，符合题设条件的填法共有722−72−16×72=3960种。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.设，求证：
当正整数n≥2时，an+1证明：
由于，因此，于是，对任意的正整数n≥2，有
，即an+114.已知过点（0，1）的直线l与曲线C：
交于两个不同点M和N。
求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。
解：
设点M、N的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为（xp，yp）。
若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。
由方程组，消去y，得，即（k−1）x2+x−1=0。
由题意知，该方程在（0，+∞）上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4（k−1）>0…
（1），…
（2），…（3），由此解得。
对求导，得，则，，于是直线l1的方程为，即，化简后得到直线l1的方程为…（4）。
同理可求得直线l2的方程为…（5）。
（4）−（5）得，因为x1≠x2，故有…（6）。
将
（2）（3）两式代入（6）式得xp=2。
（4）+（5）得…（7），其中，，代入（7）式得2yp=（3−2k）xp+2，而xp=2，得yp=4−2k。
又由得，即点P的轨迹为（2，2），（2，2.5）两点间的线段（不含端点）。
15.
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