6．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝（）
A.B.C.D.
7．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B等于（）
A．30°B．45°
C．60°D．120°
8．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）
A．90°B．120°C．135°D．150°
9．在△ABC中，b2＋c2－a2＝－bc，则A等于（）
A．60°B．135°
C．120°D．90°
10．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
11．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2－7x－6＝0的根，则三角形的另一边长为（）
A．52 B．2
C．16D．4
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－b2）tanB＝ac，则∠B＝（）
A.B.或C.或D.
13．在△ABC中，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝（）
A．2B．2C.D.
14．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝（）
A．－B.C.D.或－
二．填空题
15．已知△ABC中，AB＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积为________．
16．在△ABC中，A＝45°，a＝2，b＝，则角B的大小为________．
17．在△ABC中，c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则b＝________，c＝________．
18．在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C的大小为________．
19．（2013·上海卷）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC＝__________________.
20．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，则BC＝________．
21．在△ABC中，化简b·cosC＋c·cosB＝________．
22．在△ABC中，a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinC＝________．
23．已知△ABC的三边a，b，c，且面积S＝，则角C＝________．
三、解答题
24．在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，解这个三角形．
25．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，cosC＝.
（1）求△ABC的周长；
（2）求cos（A－C）的值．
26．在△ABC中，acos＝bcos，判断△ABC的形状．
27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＋C＝2B.
（1）求cosB的值；
（2）若b2＝ac，求sinAsinC的值．
28．在△ABC中，B＝120°，若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
参考答案：
1.B解析：
由正弦定理＝得＝，
∴＝，即sinB＝cosB，∴B＝45°.
2.B解析：
由正弦定理得＝，即c＝2.
3.B解析：
利用正弦定理解三角形．
4.A解析：
由正弦定理得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶∶2.
5.A解析：
sinA＞sinB⇔2RsinA＞2RsinB⇔a＞b⇔A＞B（大角对大边）．
6.C解析：
由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝5，∴AC＝.再由正弦定理＝，
可得sin∠BAC＝.
7.C解析：
cosB＝＝＝.
∴B＝60°.
8.B解析：
设边长为7的边所对的角为θ，则由余弦定理得：
cosθ＝＝，∴θ＝60°.
∴最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.
9.C解析：
cosA＝＝－，∴A＝120°.
10.D解析：
由b2＝ac及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝a2＋c2－ac，∴（a－c）2＝0.∴a＝c.
又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．
11.B解析：
设夹角为α，所对的边长为m，则由5x2－7x－6＝0，得（5x＋3）（x－2）＝0，故得x＝－或x＝2，因此cosα＝－，于是m2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴m＝2.
12.B解析：
由（a2＋c2－b2）tanB＝ac得a2＋c2－b2＝，再由余弦定理得：
cosB＝＝，即tanBcosB＝，即sinB＝，∴B＝或.
13.D解析：
∵asinAsinB＋bcos2A＝a.
由正弦定理可得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝sinA，
即sinB＝sinA，∴＝＝.
14.C解析：
由正弦定理得＝，
∴sinB＝＝.
∵a＞b，∴A＞B，即B为锐角．
∴cosB＝＝＝.
15.解析：
由正弦定理得＝，解得BC＝6，
∴S△ABC＝AB·BC·sinB＝×6×6×＝9.
答案：
9
16.解析：
由＝得sinB＝，由a＞b知A＞B，∴B＝30°.
答案：
30°
17.解析：
由正弦定理知＝，即b＝c，又b＋c＝12，解得b＝4，c＝8.
答案：
4 8
18.解析：
在△ABC中，由正弦定理知＝，
即sinB＝＝＝.
又∵a>b，∴∠B＝.
∴∠C＝π－∠A－∠B＝.
答案：
19.解析：
由3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0得a2＋b2－c2＝－ab，从而cosC＝＝－.
答案：
－
20.解析：
由余弦定理得：
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即：
5＝25＋BC2－9BC，解得：
BC＝4或5.
答案：
4或5
21.解析：
由余弦定理得：
原式＝b·＋c·
＝＋＝a.
答案：
a
22.解析：
在△ABC中，A＋B＋C＝π，又A＋C＝2B，
故B＝，由正弦定理知sinA＝＝，
又a＜b，因此A＝，从而C＝，即sinC＝1.
答案：
1
23.解析：
由absinC＝得a2＋b2－c2＝2absinC，再由余弦定理cosC＝得sinC＝cosC，
∴C＝.
答案：
24.解析：
由正弦定理得＝，得sinA＝.
∵a＞b，∴A＞B＝45°，
∴A＝60°或120°.
当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝.
当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.
综上可得A＝60°，C＝75°，c＝或A＝120°，C＝15°，c＝.
25.解析：
（1）∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－4×＝4，∴c＝2.∴△ABC的周长为1＋2＋2＝5.
（2）∵cosC＝，∴sinC＝＝，
cosA＝＝＝.
∴sinA＝＝.
∴cos（A－C）＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝.
26.解析：
∵acos＝bcos，
∴asinA＝bsinB.
由正弦定理可得：
a·＝b·，
∴a2＝b2.∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
27.解析：
（1）由2B＝A＋C和A＋B＋C＝180°，得B＝60°，∴cosB＝.
（2）由已知b2＝ac及正弦定理得sinAsinC＝sin2B＝sin260°＝.
28.解析：
由余弦定理得：
b2＝a2＋c2－2ac·cosB，
即b2＝（a＋c）2－2ac－2ac·，
∴ac＝3.
故S△ABC＝acsinB＝×3×＝.
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