高三文科数学数列专题练习.doc

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高三文科数学数列专题练习

1.已知数列是等比数列,且

（1）求数列的通项公式;

（2）求证:

；

（3）设,求数列的前100项和.

1.解：

（1）设等比数列的公比为.

则由等比数列的通项公式得,

又

数列的通项公式是.

数列的前100项和是

2.数列{an}中，，，且满足常数

（1）求常数和数列的通项公式；

（2）设，

（3）,

2．解：

（1）

（3）

3.已知数列，求

4.已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且

.

（1）求证:

数列是等比数列;

（2）求数列的前项和.

4.解：

证法1:

∵是关于的方程N的两根,

∴

由,得,

故数列是首项为,公比为的等比数列.

证法2:

∵是关于的方程N的两根,

∴

∵,

故数列是首项为,公比为的等比数列.

（2）解:

由

（1）得,即.

∴

.

∴

.

5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？

6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；

（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

7.在等比数列{an}（n∈N*）中，已知a1＞1，q＞0．设bn=log2an，且b1＋b3＋b5=6，b1b3b5=0．

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式an、bn；

（2）若数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与an的大小．

8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，

点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上。

（1）求a1和a2的值；

（2）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；

（3）设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn。

8.解：

（1）∵an是Sn与2的等差中项

∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2

a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4 ···3分

（2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，

又Sn—Sn-1=an，

∴an=2an-2an-1，

∵an≠0，

∴，即数列{an}是等比树立∵a1=2，∴an=2n

∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，

∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1， ···8分

（3）∵cn=（2n-1）2n

∴Tn=a1b1+a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+（2n-1）2n，

∴2Tn=1×22+3×23+····+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1

因此：

-Tn=1×2+（2×22+2×23+···+2×2n）-（2n-1）2n+1，

即：

-Tn=1×2+（23+24+····+2n+1）-（2n-1）2n+1，

∴Tn=（2n-3）2n+1+6

9.已知数列的前n项和为且，

数列满足且．

（１）求的通项公式；

（２）求证：

数列为等比数列;

（３）求前n项和的最小值．

9.解：

（1）由得,……2分

∴……………………………………4分

（2）∵,∴,

∴;

∴由上面两式得,又

∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分

（3）由

（2）得，∴

=，∴是递增数列………11分

当n=1时,<0；当n=2时,<0；当n=3时,<0；当n=4时,

>0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.

且…………………………13分

10.已知等差数列的前9项和为153．

（1）求；

（2）若，从数列中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第项

，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和.

10.解：

（1）………5分

（2）设数列的公差为d，则

………9分

…12分

11.已知曲线：

（其中为自然对数的底数）在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点，过点作轴的垂线交曲线于点，……，依次下去得到一系列点、、……、，设点的坐标为（）．

（Ⅰ）分别求与的表达式；

（Ⅱ）求．

11.解：

（Ⅰ）∵，

∴曲线：

在点处的切线方程为，即．

此切线与轴的交点的坐标为，

∴点的坐标为．……2分

∵点的坐标为（），

∴曲线：

在点处的切线方程为，……4分

令，得点的横坐标为．

∴数列是以0为首项，为公差的等差数列．

∴，．（）……8分

（Ⅱ）∴

……14分

12.在数列

（1）求证：

数列是等差数列；

（2）求数列的前n项和；

12.解：

（1）由，可得

所以是首项为0，公差为1的等差数列.

（2）解：

因为即

设……①

……②

当时，①②得

13.在等差数列中，公差，且，

（1）求的值．

（2）当时，在数列中是否存在一项（正整数），使得，，成等比数列，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

（3）若自然数（为正整数）满足<<<<<，使得成等比数列，当时，用表示

13.解：

（1）在等差数列中，公差，且，

则……………………3分

（2）在等差数列中，公差，且，

则

又则………7分

（3）在等差数列中，公差，且，

则

又因为公比首项，

又因为…………12分

14.已知二次函数满足条件:

①;②的最小值为.

（Ⅰ）求函数的解析式;

（Ⅱ）设数列的前项积为,且,求数列的通项公式;

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若是与的等差中项,试问数列中第几项的

值最小?

求出这个最小值.

14.解:

（1）由题知:

解得,故.………2分

（2）,

又满足上式.所以……………7分

（3）若是与的等差中项,则,

从而,得.

因为是的减函数,所以

当,即时,随的增大而减小,此时最小值为;

当,即时,随的增大而增大,此时最小值为.

又,所以,

即数列中最小,且.…………12分

15.已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（nN+），

（Ⅰ）用xn表示xn+1；

（Ⅱ）若x1=4，记an=lg，证明数列｛｝成等比数列，并求数列｛｝的通项公式；

（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.

15.解：

（Ⅰ）由题可得．

所以曲线在点处的切线方程是：

．

即．

令，得．

即．

显然，∴．

（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．从而，即．所以，数列成等比数列．故．即．

从而所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

∴∴

当时，显然．当时，

∴．

　　　综上，．

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