高三数学试卷.doc
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高三数学试卷（文）
满分150分考试时间120分钟
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则等于（）
A．B． C．D．
2.设是虚数单位，若复数，则的值为（）
A．或 B．或 C．D．1
3.已知命题；命题.则下列结论正确的是（）
A．命题是假命题 B.命题是真命题
C．命题是真命题 D．命题是真命题
4.的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（）
A．或 B．C．或D．
5.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为.
100
则实数的值为（）
A． B． C．D．
6.在区域内任意取一点，则的概率是（）
A.B.C. D.
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）
A.B.C.D.
开始
输入
输出
结束
是
是
否
否
8题图
主视图
侧视图
俯视图
7题图
8.执行如图的程序框图，如果输入的，那么输出的值是（）
A.B.C.D.都有可能
9.已知函数①，②，则下列结论正确的是（）
A.两个函数的图象均关于点成中心对称
B.两个函数的图象均关于直线对称
C.两个函数在区间上都是单调递增函数
D.可以将函数②的图像向左平移个单位得到函数①的图像
10.已知直角中，斜边，为线段的中点，为线段上任意一点，则的最小值为（）
A.Ｂ.Ｃ．Ｄ．
11.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（）
A． Ｂ．Ｃ．Ｄ．
12.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
第II卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.曲线在点处的切线方程为.
14.已知过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是.
15.设直线的倾斜角为,则的值为.
16.已知函数为R上的增函数，函数图像关于点对称，若实数满足，则的取值范围是.
三、解答题:
本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知为等差数列，数列满足对于任意，点在直线上，且，.
（1）求数列与数列的通项公式；
（2）若求数列的前项的和.
18.（本小题满分12分）
千元
频率
组距
两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数按区间（千元）进行分组，得到如下统计图：
（1）求的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；
（2）若用分层抽样的方法，从承受能力在与的居民中抽取人，在抽取的人中随机取人，求人的承受能力不同的概率.
19.（本小题满分12分）
图1
图2
如图，，，，为的中点，,沿将折起至，如图2，且在面上的投影恰好是，连接，是上的点，且.
（1）求证：
∥面；
（2）求三棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．
21．（本小题满分12分）设函数．
（1）若函数在上为减函数，求实数的最小值；
（2）若存在，使成立，求正实数的取值范围．
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：
只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4－1：
几何证明选讲
如图，在中，，以为直径的圆交于点，点是边的中点，连接交圆于点.
（1）求证：
是圆的切线；
（2）求证：
.
23.（本小题满分10分）选修4—4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为．
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求．
24.（本小题满分10分）选修4—5：
不等式选讲
已知函数，，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若，且，求的最小值.
数学（文科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
A
B
D
D
A
C
B
D
A
13.14.15.16.
17.（本小题满分12分）解：
（1）由点在直线上，有，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即数列的通项公式为，3分
又，，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，即数列的通项公式为；6分
（2）
所以
12分
18.（本小题满分12分）解：
（1）由，所以，2分
平均承受能力，
即城市居民的平均承受能力大约为5070元；5分
（2）用分层抽样的方法在这两组中抽5人,即组中抽人与抽人,
设组中两人为,组中三人为,从这人中随机取人,有
,,,,,,,,共10中,符合两人承受能力不同的有,,,,,共6中,所以所求概率为.12分
图1
图2
19.（本小题满分12分）
（1）证明：
过作∥,交于,连接，
于是，又，，为的中点，所以，，由，得到,所以，得∥,所以面∥面,即∥面；（注：
可以在翻折前的图形中证明∥）6分
（2），，又面，所以到平面的距离，，所以，即得三棱锥的体积为.12分
20.（本小题满分12分）解：
（1）由题设知，，
由，得解得
所以椭圆的方程为4分
（2）设圆的圆心为，
则
从而求的最大值转化为求的最大值．
因为是椭圆上的任意一点，设所以，即．
因为点，所以
因为，所以当时，取得最大值12
所以的最大值为1112分
21．（本小题满分12分）解：
（1）由已知得．
因在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．
又，2分
当，即时，．
所以于是，故a的最小值为．4分
（2）命题“若存在，使成立”等价于“当时，有
．
由
（1），当时，，∴．
问题等价于：
“当时，有”．6分
①当时，由
（1），在上为减函数，
则，故．8分
②当<时，由于在上的值域为
（ⅰ），即，在恒成立，故在上为增函数，
于是，，矛盾．10分
（ⅱ），即，由的单调性和值域知，
存在唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以，，
所以，，与矛盾．
综上，得12分
22.（本小题满分10分）
解：
（1）连结.∵点是的中点，点是的中点，∴，∴，.∵，∴，∴.在和中，
∵，，∴，即.∵是圆上一点，∴是圆的切线.5分
（2）延长交圆于点.∵≌，∴.∵点是的中点，∴.
∵是圆的切线，∴.∴.∵，
∴.∵是圆的切线，
是圆的割线，∴，∴10分
23.（本小题满分10分）
解：
（1）由得，即.5分
（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得.
即，由于，可设是上述方程的两个实根.
所以，又直线过点，
可得：
.10分
24.（本小题满分10分）
解：
（1）因为，等价于，
由有解，得，且其解集为．
又的解集为，故.5分
（2）由
（1）知，又，由柯西不等式得
.
∴的最小值为9.10分
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