高三数学理科周练.doc
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2015届高三理科周练
1．命题“x>2，x2+ax+1<0”的否定是．
2．已知全集，，，则．
3．函数f（x）＝的定义域是．
4、设分别是的边上的点,,,若（为实数）,则的值为__________.
5、已知为实数，直线,则是的条件
6．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．
7．已知，且，则的值为．
8．已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为．
9．设A、B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，OA⊥OB，A点的横坐标是－1，则B点的横坐标为________．
10．已知f（x）=3sin（2x－），若存在α∈（0,π），使f（α+x）=f（α-x）对一切实数x恒成立，则α=________．
11．四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，平面，，则该球的体积为．
12．设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是．
13、设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是__________
14．已知x，y都在区间（0，1]内，且xy＝，若关于x，y的方程＋－t＝0有两组不同的解（x，y），则实数t的取值范围是．
二、解答题
15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，＝8，
∠BAC＝θ，a＝4，
（1）求b·c的最大值及θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）＝2sin2（＋θ）＋2cos2θ－的最值．
16．（14分）如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
（1）求证:
GH∥平面CDE；
（2）求证:
面ADEF⊥面ABCD.
17．（14分）如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知
AB=60m，BC=80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
18．（16分）设是公差不为零的正项等差数列，为其前项的和，满足
，，成等比数列.
⑴求数列的通项公式；
⑵设令，为数列的前项的和，若，求的值.
19．（16分）已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．
M
x
y
T
G
P
O
N
A1
A2
B1
B2
F1
F2
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，
分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G
相切，切点为T.证明：
线段OT的长为定值,并求出该定值.
20、（16分）设函数,,其中为实数.
（1）若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
（2）若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
附加题
21、（10分）已知矩阵A的逆矩阵A，求矩阵A的特征值．
22、（10分）在极坐标中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
23（10分）如图，圆锥的高，底面半径，为的中点，为母线的中点，为底面圆周上一点，满足．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值．
24、（10分）一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.
（Ⅰ）求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.
（Ⅱ）再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
2015届高三数学理科周练参考答案
1．命题“x>2，x2+ax+1<0”的否定是．
2．已知全集，，，则．
3．函数f（x）＝的定义域是．（0，3］
4．设分别是的边上的点,,,若（为实数）,则的值为__________.
5、已知为实数，直线，，则“”是“”的条件（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个）．充分不必要
6．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为．
7．已知，且，则的值为．
8．已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为．2
9．设A、B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，OA⊥OB，A点的横坐标是－1，则B点的横坐标为_____16___．
10．已知f（x）=3sin（2x－），若存在α∈（0,π），使f（α+x）=f（α-x）对一切实数x恒成立，则
α=________．
11．四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD是边长为1的正方形，平面，，则该球的体积为．
12．设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是．
13．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是__________
14．已知x，y都在区间（0，1]内，且xy＝，若关于x，y的方程＋－t＝0有两组不同的解（x，y），则实数t的取值范围是．（，]
二、解答题
15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，＝8，∠BAC＝θ，a＝4，
（1）求b·c的最大值及θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）＝2sin2（＋θ）＋2cos2θ－的最值．
解：
（1）∵＝8，∠BAC＝θ，∴bccosθ＝8.
又a＝4，∴b2＋c2－2bccosθ＝42
即b2＋c2＝32.又b2＋c2≥2bc，∴bc≤16，即bc的最大值为16.
而bc＝，∴≤16，∴cosθ≥，∵0<θ<π，∴0<θ≤.……..……………7分
（2）f（θ）＝2sin2（＋θ）＋2cos2θ－＝[1－cos（＋2θ）]＋1＋cos2θ－
＝sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin（2θ＋）＋1
∵0<θ≤，∴<2θ＋≤∴≤sin（2θ＋）≤1.
当2θ＋＝，即θ＝时，f（θ）min＝2×＋1＝2.
当2θ＋＝，即θ＝时，f（θ）max＝2×1＋1＝3.……..……………14分
16．（14分）如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，
且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.
（1）求证:
GH∥平面CDE；
（2）求证:
面ADEF⊥面ABCD.
证明：
⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，
∴中，，∵ABCD为平行四边形
∴AB∥CD∴，
又∵
∴平面……..……………7分
⑵，所以，
又因为四边形为正方形，，
，，-
∴.……..……………14分
17．（14分）如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
解：
（1）如图，过E作，
垂足为M，由题意得∠MEF=α，
故有，，，
所以
=80+-60tanα（其中……..……………7分
（2）W
．设，
则．
令得，即，得．
列表
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
所以当时有，此时有．
答：
铺设水管的最小费用为万元，相应的角．…………………14分
18．（16分）设是公差不为零的正项等差数列，为其前项的和，满足
，，成等比数列.⑴求数列的通项公式；⑵设令，为数列的前项的和，若，求的值.
解：
⑴………………………………..6分
⑵
.………………………………..16分
19．（16分）已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：
线段OT的长为定值,并求出该定值.
M
x
y
T
G
P
O
N
A1
A2
B1
B2
F1
F2
解：
（1）因为椭圆C的离心率e＝，
故设a＝2m，c＝m，则b＝m．
直线A2B2方程为bx－ay－ab＝0，
即mx－2my－2m2＝0．
所以＝，解得m＝1．
所以a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1．…………………5分
（2）由得E（，），F（－，－）．
又F2（，0），所以＝（－，），＝（－－，－），
所以·＝（－）×（－－）＋×（－）＝＞0．
所以∠EF2F是锐角．…………………10分
（3）由
（1）可知A1（0，1）A2（0，－1）,设P（x0，y0）,
直线PA1：
y－1＝x，令y＝0,得xN＝－；
直线PA2：
y＋1＝x，令y＝0,得xM＝；
解法一:
设圆G的圆心为（（－），h）,
则r2＝[（－）－]2＋h2＝（＋）2＋h2．
OG2＝（－）2＋h2．
OT2＝OG2－r2＝（－）2＋h2－（＋）2－h2＝．
而＋y02＝1，所以x02＝4（1－y02），所以OT2＝4，
所以OT＝2,即线段OT的长度为定值2.…………………16分
解法二:
OM·ON＝|（－）·|＝,
而＋y02＝1，
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