矩阵论自测题答案docxWord文档下载推荐.docx
《矩阵论自测题答案docxWord文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵论自测题答案docxWord文档下载推荐.docx（38页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（2）因为（f,g）="
e0=l,
|f|=J（f，f）=（pX^=点，
|g|=J（g，g）=（[疽0）%,
四、解：
（1）|AZ-A|=（A-1）（2-2）2,4]=1,人2=4=2.
行列式因子：
D}=（A-1）（A-2）2,D2=l,Dl=1；
不变因子：
^i（^）=<
/2
（2）=1,（Z3
（2）=（2-1）（2-2）2;
初等因子：
（人-1）,（4-2尸.
F1一
（2）A~J=7121；
L2」[2
（3）对2,=1,（/-A）X|=0得&
=（0,1,顶；
22=2,（27-A）X2=0得&
=（1,0,1），
再求劣=2的一个广义特征向量：
由（2Z-A）X3=-X2得&
=（1,1,顶.
oir
■-1ii_
取尸=
101
p1=
0-11,
iii
11-1
令/'
（A）=Sz•泌，则：
/[A（A）]=/（A）=sini,f[JM]=
故sinA=Pdiag^fUx（A）],f[J2（%）]）
011
sinl
■-111■
sin2cos2
0-11
111
sin2
cos2+sin2cos2-cos2
sin2-sin1sin2-sin1sin1-sin2
sin2+cos2-sin1cos2+sin1sin1一cos2
五、解：
（1）|A|L=max切卜max｛家号卜号＜1,
故limA*=0；
（2）的收敛半径为1，而间L<
1若在其收敛域内，故
k=0
£
泌绝对收敛，且
k=0k=0
六、解：
（1）M=5，Mml=15,||<
=5,||A|L=6；
又因为
F-3221
A-1=|2-32,|Q|L=（
「22-3」一
所以co〃d（A）8=：
x5=7；
|/V—A|=（2—5）（/1+1）2,=5,=23=—1.
故p（A）=lim|/l,|=5.
1?
⑵因为△i=1aOA=2广-3。
0,故可分解.
（3）B均可取矿，
七、证：
设X=（x1,x2,---,xn）T,Y=（y1,y2,---,yn）T分别为由在两组基下的坐标，贝U=CY,当X=Y时有：
（I-C）X=0,贝IJ|/-C|=O,故C有特征值1-
反之，由于1是过渡过阵C的一个特征值，设其对应的特征向量为X,即CX=1.X,由坐标变换公式知，由在基岗，…，尻下的坐标Y=CX,故有丫=X.
八、证：
展对称正定，.•.存在正交矩阵C,使
CTAC=diag（,A2,•••,）=D
其中特征值人＞00=1,2,...,〃）.
对vx置，＜r=CX,使
XTAX=^+A2yl+--+Any^=YTDY,
其中y^O.令乂-—^=zl,y2=-j==z2,---,yn=—=zn.于是
VA7七7人〃
1
A
Y=-^=Z=BZ,z^e
^YTDY=ZT（BTDB）Z=ZTZ.而X=CV=C，3Z=PZ（令3=P）,所以
YTDY=XTAX=ZT（PTAP）Z=ZTZ.
因z的任意性，知PtAP=I,即A与/相合.
自测题二
一、解：
A=Al,Ak=A!
iI,akAk=ak^I,
GqI+alA++…+a"
A*=（a°
++•••+dn^）/,
其中％+a/+...+a,牙eR,故取U的基为/,dimV=l.
二、解：
（1）从基1,X,/到基l+x,x+x2,x2的过渡矩阵
100「
C=110,
■11ri'
所以由在新基下的坐标为lo=-1.
-1J［o
（2）不是线性变换.因为
由0+”）=（%+2。
也+妒,。
［+。
］+但+妇。
3+人3）/"
（。
）+次（”）.
（3）不是内积.如a=（1,2）,〈（1,2）,（1,2））=1-4=-3<
0,不具
有非负性.
（1）利用S湖湖力正交化方法，得
e]=（1,1,1）'
e2=（-1,0,1）r,£
3=（z，-=，z）7'
.
6jo
1-2—；
（2）从%到€|抑2抑3的过渡阵。
=01|
（1）由于A实对称，所以存在正交阵Q,使
0••-0
（2）取A
即有h4>
MH2-
五.、食军：
（1）济/—=—5A+3—3=（4+1）3；
人］=人2=石=T•
102+2
"
）=（人+1）3,。
2（人）=。
1（人）=1
所以，不变因子为％（人）=似人）=1,d3
（2）=（2+1）3；
初等因子为（4+1）3.
110、
故A的Jordan标准形1=011.
六、证：
（1）因114=0.73<
l；
故limA^=0;
（2）因A有范数小于1,故绝对收敛；
且其和的形式
为（/-A）'
-1
B+=成B）\BT,
则A+=C+B+,所以，方程AX"
的极小范数最小二乘解为X=A*b.
（1）因为-A=CtAC,所以（-1）〃|A|=|C『|A|,则有
|c|2=（-l）«
>
Q,n必为偶数.
（2）设AX=AX,X=［知巧，…"
/的分量中绝对值最大者为
&
|,则AX=AX的第上个方程
=TjakjXj；
J=1
同^akjxj%£
|。
|对；
j=ij=i
j=i
故有同＜1.
自测题三
（1）不是.设AT=A,BT=-B,贝［J
A+B=（,At-Bt）=（,A-B）t^（,A+B）t（一般t青况下）,
又A+3=（A—3），A—（A+3）（一般寸青况下），即A+bEV.
（2）Vtz0/+a^D+•••+anD"
=（^ciQ++•••+cind"
）
H+（Q°
++
•••+"
5
-
故得一组基为
，,•,，
且dimV
、解：
（1）由（x2）=3x2+2x+1,
30O'
8在基子,01下的矩阵为：
A=223
Il1J
可见矩阵A有三个不同的单根1,3,5,故A可以对角化，即由可
以对角化.
（3）设度量矩阵C=（C,）3x3,则
G1=卜4公=!
。
12
x3dx=-^-C219
C13==—=C31,C22=j^X2dx=—,
23=。
32=fxdx=—,C33=fdx=1.
j_1}
43
J_j_
32
设由（%）=X|0+》2。
2+》3%,使得由01），M02），由（%）是标准正交的.
由（％）,就（%）已标准正交化，
（由（％）,sA.（%））=（由（%），攻（%））=。
，
IM（%）|=1,
即得
2工]+2工2—工3=0
2明一工2+2巧-0；
构车得：
■X]+%2+工3=1
即由（%）=§
（-名+2a2+2a3）..
因为由（名），由（％）,W（%）为标准正交基，且由把标准正
交基变为标准正交基，故由为正交变换，它在基％,%,%下的矩阵表
示为
2
3
T
A=
J=
21
相似变换矩阵了=
由,么，”3）=（%，%，%）T,求得V3的一组基为
*=㈤+%，6=+%，四=%++%,
则由在该基下的矩阵为J.
五、证：
当x=o时，||x||=||°
o||f=||o||f=o；
当x^e时，彪，。
0；
从而|X|=|心气>
0.X/kEC,
I网|=|凤人）气=|阮以|L
=|M|*|L=R||x|,
llx+r|=|凤x+叽=|回『+以气<
kr||f+|KL
=|x|+|v|,
因此，||X||是向量范数.又因为
||AX|=k（AX）［L=|W*L
圳"
闵，
因此，IK与|冈相容.
|〃-A|=J（人一6）,特征根为人=6,=。
则Z?
（A）=6.由
于尸=64,故A可以对角化，即存在可逆矩阵。
使
（6）
A=C0C-i；
、°
C-1
OJ
故得
fl
n设p（A）＜l,取£
=|[l-p（A）]＞0,对于矩阵A,存在矩阵范数M，使间|“（a）+e=丝兴＜i.
P（A）<
||a||<
1便得证.
（1）|ArB|=|Ar||B|=|A||B|=|AB|=-l,同理，有\abt\=\atbt\=-i.
（2）|A+B|=+）b|=|a||bt+Ar||B|
=\AB\|（A+B）r|=-|AB|,
得2|A+B|=0,即有|A+5|=0.
自测题四
⑴
00
+
—
01
02
=2E3,
由（E3）=E3+E；
=
所以由在Ei,E2,务下的矩阵为
（2）设有一组基勺,e2,七，从E.E2E3到。
32,。
3的过渡矩阵设
为C,即
（e〔，e?
63）—（-£
],E'
2,E3）C
再设A在e\e2e3下的矩阵为5,则B=C'
AC.
要使6为对角阵，即找一个可逆矩阵。
，使C^AC为对角阵.因
A-1
A—2
=人（人一2）2,
|/IZ—A|=
对4=0,求得特征向量（-1.1.o）r,对入=2,求得两个线性无关的特征向量（1,1,o）「，（o,o,顶.
0,贝\\B=ClAC对角阵.
二、证：
易得
（cifj,a}）=1,（%,%）=（%,%）=0,
（%,%）=（%,%）=0,（cr2,cr2）=1,
（%,。
3）=（%,%）=0,（%,%）=1,
即由（e1）=al,由@2）=%,由@3）=%也是标准正交基，故由是正交变换.
三、解：
（1）令k=G，〃2,0,・"
0）‘,由HX=Y,知|V|=|HX|=|X|；
取〃=『=尚；
”时构造初等反射矩阵
H=l-2r）riT,
则有HX=\X\YO=Y.
人一］8
（2）|2/-A|=；
=（4-1）2-16=（4-5）（4-3）.
ZZ—1
因此4=5,%=3,
所以/?
（A）=max|A;
|=5；
因为"
（A）=5<
6,故矩阵籍级数收敛.
由正交矩阵行（列）向量组标准正交，得
四组解是:
Cl—--j=V2
i
Cl—--j=
V2
Q=-/=
Q=1=
1
b=<
很，
b—<
b=J
扼，
r~n
rn
rvi
33
IWI1=max£
kJ=max{6,4,2}=6；
||A||m=max\atj|=max（5,4,3）=5；
7i=l'
J=1
K.=smax{%|}=9.
因为印一A|=（人一1）（4-2/，4=1，4=%=2，故
p（A）=max%]=2.
（2）A1=3^0,七=；
=5鬲，故可以进行脱/分解.
（3）易得R（A）=3,R（B）=2,所以R（A®
B）=6,6的特征根
为#1=1,外=2,故A的特征根为
人］//］=1,人1〃2=2,人2〃］—2,人2〃2=4，人3〃1=2，人3〃2=4・（A®
B）2的特征根为：
1,4,4,16,4,16.
（4）•.•同=2邳「.5可逆，且B-1=二一］3,
所以B,B+,B；
均可取为：
矿J?
：
~3-
一］
（5）A的Jordan标准形为：
J=21.
（6）对应于4=1的特征向量（0,1,1/?
对应于为=2的线性无关的特征向量只有一个（1，。
，1）,，再求一个广义特征向量（1,1，1产・
令
T=
T~l=
-111■
f（A）=
A?
则
/（A（A））=15f02（%）=2I4
L2J
f（A）=T如CM"
（1）由AX=AX,即（A-AI）X=0,若入不是A的特征根,则|A-刈20,所以（A-AI）X=0只有零解,故dimVA=0.
若入是A的特征根，则|A项|=0,所以（A-AI）X=O有非零解.设R（A—A/）=r,贝JdimV九=n-r.
（2）设A=I—2a）a）T其中切为单位向量a）Ta）=l.
A2=（/-loxoT）（/-2oxoT）=I-l（ocoT_2（o（ot+4a）a）Ta）wa）T
—I—4a）a）T+4a）a）T—I.
（1）设XcR"
W0）,由于二次型
XtBX=XtAtAX=（AXy（AX）＞0,
所以B为半正定矩阵.
（2）当A的列向量组线性无关时，若X=0,则AX老0,故x"
x=（ax）t（ax）＞0,即A为正定矩阵.
（1）X为非奇异，X为A的特征值，故入乒0,而才为A-】的特征值，据特征值上界原理，有
I，即牛3，
⑵对VXO0,由已知有
||a-1（a+b）x||=||x+a-1bx||
2||x|一|"
bx|2||x|一|at||B||x||=（i-||a-1|||b||）||x||
foAE（akl一）AIKcq+sk一JNXA
.^k9+ytl皿oJLgABw。
0*g+v7二JI（9+sTy¥
.^W#Ko"
x（g+STy忌。
oNx（g+y）Ty
w。
ONXA*巨m
自测题五
解：
（I）在K中,
令d
AXxX2（x2~X3+X4X2
1）_，T。
）_fl0、
oj'
鸟=[1&
=[oJ，
因Ex,E2,E3线性无关，由定义知，它们是匕的基，且dimV]=3.
（2）V2=L[Bt,B2]因为B"
?
线性无关；
dimV2=2.
V,+V2=L（Ei,E2,E3,
在R2x2的标准基下，将El,E2,E3,Bl,B2对应的坐标向量A排
成矩阵，并做初等变换
1-1110、
a-1110、
1000-2
01-1-10
（%,%%,四伊2）=
01020
〜
00130
、00131,
、ooooL
可见dim（V]+V2）=4.
由维数定理dim（*Cl匕）=dim*+dim匕-dim（V,+V2）=5-4=1.
11
⑴因为，过渡阵。
=11,且。
与=-11
111-11
（2）设，则有A（X）=/l|X与A（X）=/l2X,两式相减得
伏-人2）x=0,由于&
邳2,所在地只有X=0,故dim忆nvj=o.
取P"
中的简单基l,w如由于
由
（1）=1-X，次（X）=X-X3,（X2）=1+X2,由（X3）=-X+X3,
则由在1,X,X2,尸下的矩阵为
再由（/；
jw,y4）=（i,x,3/k,求得凡认中另一组基:
（X）=1+.『,£
（X）=X+f3（x）=l-.r2,/4（x）=x-x3.
（1）
（2）当/顶时（&
勺）=0；
故度量矩阵A=
n）
（1）14=3,
|x|Z，|x||
1,
X「X
i=9,
x「x
产3,
moo
4,
3.
（2）D3
（2）=22（A+1）,易得£
>
2（人）=»
1（人）=1・
•不变因子山（4）=侦4）=1,由夙）=万3+1）；
初等因子万，（人+1）.
六、解:
行变换
■>
~1
r
-ir
c=
10
J
令B=
f1
0、
p-ir_i
l-id=?
、1
0>
c+=cT（ccTyi=
■2r
■5-4r
13
3-30一
_1
033
15
-12
-121
-15
-572
5-41
所以A+=C+B+=
-4
「3一
「15一
-5
7
4
J-
_15_
（3）X=A+b=
七、证明提示：
类似习题4.1第16题
（1）的证明.
八、证明：
n因为疽3=疽人。
两边左乘矩阵A,有
（aa+a）b=（aa+a）c,
故AB=AC.
仁因为AB=AC,设疽为A的加号定则，两边左乘疽，有
A+AB=A+AC.
自测题六
的一个基.
（2）由（EJ=B「Ei—E：
B=
‘0
-1]
由（EQ=BTE：
_E；
、0
〕
由（&
=3室3—E；
、一2
2、
故由在基£
2*下的矩阵为：
、一10
0、o
2>
⑶将A对角化，取。
020、
r0、
100
#C"
AC=
、01V
IL
设所求基为,
有:
（y1,y2,y3）=（E1,E2,E3）c.
y2=[
y3=|
loV
、-1oj
51
\-1oj
得。
则由在基匕，匕，匕下的矩阵为对
角形.
A的特征根人]=人2=。
’“3=1；
行列式因子D3（A）=A2（2-1）,易得D2（A）=£
）1（/l）=l；
不变因子"
="
）=1"
（人-1）；
初等因子万，A-1.
「010「
（2）A的Jordan标准形为7=000;
001
（3）△i=-i?
o,a2=1J=-i6^o;
A能进行LU分解.
—j21
4〃+12t
3r1
12X]
四、解:
B-=（2A-Z）2=4A2-4A+Z,
（1）由A=a（3+/）,得3=2A-/,
显然，当且仅当刀2=/时，有A2=A.
（2）因（A+3）2=A-+AB+BA+B2=A+AB+BA+B=A+B
AB+BA^0,即AB=-BA,
两端右乘B得AB2=-BAB,从而AB=（-B）AB,由于籍等阵B的任意性,故AB=0.
五、
升级会员 