高一数学集合知识点归纳及典型例题.doc

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高一数学集合知识点归纳及典型例题

一、、知识点：

本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。

在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。

本章知识结构

1、集合的概念

集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：

“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。

理解这句话，应该把握4个关键词：

对象、确定的、不同的、整体。

对象――即集合中的元素。

集合是由它的元素唯一确定的。

整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。

确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。

不同的――集合元素的互异性。

2、有限集、无限集、空集的意义

有限集和无限集是针对非空集合来说的。

我们理解起来并不困难。

我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。

理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。

几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。

3、集合的表示方法

（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：

①元素不太多的有限集，如{0，1，8}

②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100}

③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…}

●注意a与{a}的区别

●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。

（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。

但关键点也是难点。

学习时多加练习就可以了。

另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。

如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。

4、集合之间的关系

●注意区分“从属”关系与“包含”关系

“从属”关系是元素与集合之间的关系。

“包含”关系是集合与集合之间的关系。

掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。

●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。

5、集合的运算

集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。

在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：

交集、并集和补集。

一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。

同时，我们还要掌握它们的运算性质：

还要尝试利用Venn图解决相关问题。

二、典型例题

例1.已知集合，若，求a。

解：

根据集合元素的确定性，得：

若a＋2＝1，得:

，但此时，不符合集合元素的互异性。

若，得：

。

但时，，不符合集合元素的互异性。

若得：

，都不符合集合元素的互异性。

综上可得，a＝0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。

确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

例2.已知集合M＝中只含有一个元素，求a的值。

解：

集合M中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解。

（1），只有一个解

（2）

.

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1

【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求，另外多体会知识转化的方法。

例3.已知集合且BA，求a的值。

解：

由已知，得：

A＝{－3，2}，若BA，则B＝Φ，或{－3}，或{2}。

若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0。

若B＝{－3}，即方程ax＋1＝0的解是x＝－3，得a＝。

若B＝{2}，即方程ax＋1＝0的解是x＝2，得a＝。

综上所述，可知a的值为a＝0或a＝，或a＝。

【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

例4.已知方程有两个不相等的实根x1，x2.设C＝{x1，x2}，A＝{1，3，5，7，9}，B＝{1，4，7，10}，若，试求b，c的值。

解：

由，那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。

又因为，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4，10}

因此，b＝－（x1＋x2）＝－14，c＝x1x2＝40

【小结】对的含义的理解是本题的关键。

例5.设集合，

（1）若，求m的范围；

（2）若，求m的范围。

解：

（1）若，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2

当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：

m<2

当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：

m>4

当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：

m∈Φ

综上所述，可知m<2，或m>4

（2）若，则BA，

若B＝Φ，得m<2

若B≠Φ，则，得：

综上，得m≤3

【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

例6.已知A＝{0，1}，B＝{x|xA}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。

解：

因为xA，所以x＝Φ，或x＝{0}，或x＝{1}，或x＝A，

于是集合B＝{Φ，{0}，{1}，A}，从而A∈B

三、练习题

1.设集合M＝则（）

A. B. C.a＝M D.a>M

2.有下列命题：

①是空集②若，则③集合有两个元素④集合为无限集，其中正确命题的个数是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

3.下列集合中，表示同一集合的是（）

A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}

B.M＝{3，2}，N＝{（2，3）}

C.M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}

D.M＝{1，2}，N＝{2，1}

4.设集合，若，则a的取值集合是（）

A. B.{－3} C. D.{－3，2}

5.设集合A＝{x|1

A. B. C. D.

6.设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}，B＝，则集合A，B的关系是（）

A.AB B.BA C.A＝B D.AB

7.已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N＝（）

A.Φ B.M C.N D.R

8.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则集合B＝_________________

9.若，则a的值为_____

10.若{1，2，3}A{1，2，3，4，5}，则A＝____________

11.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值

12.已知集合求实数p的范围。

13.已知，且A，B满足下列三个条件：

①②③Φ，求实数a的值。

四、练习题答案

1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.B 7.C

8.{0，1，2}

9.2，或3

10.{1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}

11.解：

依题意，得：

或，解得：

，或，或

结合集合元素的互异性，得或。

12.解：

B＝{x|x<－1，或x>2}

①若A＝Φ，即，满足AB，此时

②若，要使AB，须使大根或小根（舍），解得：

所以

13.解：

由已知条件求得B＝{2，3}，由，知AB。

而由①知，所以AB。

又因为Φ，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。

当A＝{2}时，将x＝2代入，得

经检验，当a＝－3时，A＝{2，－5};当a＝5时，A＝{2，3}。

都与A＝{2}矛盾。

当A＝{3}时，将x＝3代入，得

经检验，当a＝－2时，A＝{3，－5};当a＝5时，A＝{2，3}。

都与A＝{2}矛盾。

综上所述，不存在实数a使集合A，B满足已知条件。