高一数学知识点与题型完整归纳总结.doc

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集合及集合的应用

【课标解读】

1.掌握集合的有关基本定义概念，运用集合的概念解决问题；

2.掌握集合的包含关系（子集、真子集）；

3.掌握集合的运算（交、并、补）；

4.在解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形结合、补集思想、分类讨论）的运用.

【知识梳理】

一、集合的有关概念

（一）集合的含义

（二）集合中元素的三个特性

1.元素的确定性：

如：

世界上最高的山，反例：

世界上很高的山；

2.元素的互异性：

如：

由“HAPPY”的字母组成的集合{H,A,P,Y}；

3.元素的无序性：

如：

{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合.

（三）集合的表示

集合的表示方法：

列举法与描述法.

常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：

N，

正整数集：

N*或N+，整数集：

Z，有理数集Q，实数集R.

1．列举法：

{a,b,c,…}

2．描述法：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法.如：

{xÎR|x-3>2},{x|x-3>2}.

3．语言描述法：

如：

{不是直角三角形的三角形}.

4.Venn图.

（四）集合的分类

1.有限集:

含有有限个元素的集合;

2.无限集:

含有无限个元素的集合;

3.空集:

不含任何元素的集合;如：

{x|x2=-5｝.

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系——子集

注意：

有两种可能：

（1）A是B的一部分；

（2）A与B是同一集合.

反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA.

2.“相等”关系：

A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）.实例：

设A={x|x2-1=0}，B={-1,1}.则A=B.

元素相同则两集合相等,即：

①任何一个集合是它本身的子集：

AÍA；

②真子集:

如果AÍB,且A¹B,那就说集合A是集合B的真子集，记作AÜB（或BÝA）.

③如果AÍB,BÍC,那么AÍC.

④如果AÍB,同时BÍA,那么A=B.

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Æ

规定:

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.含有n个元素的集合，有2n个子集，个真子集.

三、集合的运算

运算类型

交集

并集

补集

定义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读作“A交B”），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：

AB（读作“A并B”），即AB={x|xA，或xB}．

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ðSA，即

ðSA=.

韦恩图示

S

A

性质

AA=A

AÆ=Æ

AB=BA

ABA

ABB

AA=A

AÆ=A

AB=BA

ABＡ

ABB

（ðUA）（ðUB）=ðU（AB）

（ðUA）（ðUB）=ðU（AB）

A（ðUA）=U

A（ðUA）=Æ

【方法归纳】

一、对于集合的问题：

要确定属于哪一类集合（数集，点集，或某类图形集），然后再确定处理此类问题的方法.

二、关于集合中的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简形式，然后再进行运算.

三、含参数的集合问题，多根据集合的互异性处理，有时需要用到分类讨论、数形集结合的思想.

四、处理集合问题要多从已知出发，多从特殊点出发来寻找突破口.

课堂精讲练习题

考点一：

集合的概念与表示

1.集合A中的元素由x=a+b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素与集合A的关系.

（1）0；

（2）；（3）.

【解题思路】：

（1）因为，所以；

（2）因为，所以；

（3）因为

难度分级:

B类

2.已知集合A={y|y=x-1，x∈R}，B={（x,y）|y=x2-1，x∈R}，C={x|y=x+1，y≥3}，求.

【解题思路】：

∵A={y|y=x-1，x∈R}=R是数集，B={（x,y）|y=x2-1，x∈R}是点集，C={x|y=x+1，y≥3}={x|x≥2}，

∴=.

难度分级:

A类

3.已知集合A={x|x2+4ax-4a+3=0}，B={x|x2+（a-1）x+a2=0}，C={x|x2+2ax-2a=0}，

其中至少有一个集合不是空集，求实数a的取值范围.

【解题思路】：

当三个集合全是空集时，所对应的三个方程都没有实数解.

方程都没有实数解，

即

解此不等式组，得

∴所求实数a的取值范围为a≤,或a≥-1.

难度分级:

B类

考点二：

集合中元素的特征

4.集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是___________.

【解题思路】：

x≠－1且x≠0且x≠3.

难度分级：

A类

5.设集合，，若，求的值及集合、．

【解题思路】：

∵且，∴．

（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，∴且；

（2）若，则或．

当时，，与集合中元素的互异性矛盾，∴；

当时，，，

由得①或②

由①得，由②得，

∴或，此时．

难度分级:

B类

6.设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合：

①1∈S，②若，则，

请解答下列问题：

（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；

（2）求证：

若，则.

（3）在集合S中元素能否只有一个？

请说明理由；

（4）求证：

集合S中至少有三个不同的元素.

【解题思路】：

（1）要求的两个数为；

（2）∵若，，∴.

（3）集合S中的元素不能只有一个.

证明：

假设集合S中只有一个元素，则根据题意知a=,此方程无解，∴a≠

∴集合S中的元素不能只有一个.

（4）证明：

由

（2）知，，，现在证明a，，三个数互不相等.

①若a=,此方程无解，∴a≠

②若a=，此方程无解，∴a≠

③若=，此方程无解，∴≠

综上所述，集合S中至少有三个不同的元素.

难度分级：

C类

考点二：

交集、并集、补集的含义及其运算

7.（2010·南京模拟）已知集合M＝{x|y2＝x＋1}，P＝{x|y2＝－2（x－3）}，那么M∩P＝.

【解题思路】：

由M：

x＝y2－1≥－1，即M＝{x|x≥－1}，由P：

x＝－y2＋3≤3，即P＝{x|x≤3}，

所以M∩P＝{x|－1≤x≤3}．

答案:

　{x|－1≤x≤3}

难度分级：

A类

8.已知集合A中有10个元素，集合B中有6个元素，全集U中有18个元素，且有A∩B≠，设集合ðU（A∪B）中有x个元素，则x的取值范围是________．

【解题思路】：

因为当集合A∩B中仅有一个元素时，集合ðU（A∪B）中有3个元素，当A∩B中有6个元素时，ðU（A∪B）中有8个元素，即3≤x≤8且x为整数．

答案:

3≤x≤8且x为整数.

难度分级：

B类

9.（2010·盐城模拟）设全集U＝R，A＝{x|>0}，∁UA＝[－1，－n]，则m2＋n2＝________.

【解题思路】：

由∁UA＝[－1，－n]，知A＝（－∞，－1）∪（－n，＋∞），即不等式>0的解集为

（－∞，－1）∪（－n，＋∞），所以－n＝1，－m＝－1，因此m＝1，n＝－1，所以m2＋n2＝2.

难度分级：

B类

10.若集合，集合，且，求实数的取值范围．

【解题思路】：

（1）若A＝，则，解得；

（2）若，则，解得，此时，适合题意；

（3）则，解得，此时，不合题意；

综上所述，实数的取值范围为．

难度分级：

A类

11.写出阴影部分所表示的集合：

【解题思路】：

（1）B∩（ðUA）

（2）A∩B∩C.

难度分级：

B级

12.（2010辽宁理）已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},ðUB∩A={9},

则A=.

【解题思路】：

因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为ðUB∩A={9}，所以9∈A,所以A={3,9}.本题也可以用Venn图的方法帮助理解.

难度分级：

B类

13.设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，若BA，求实数a的取值范围．

【解题思路】：

A={x|x2+4x=0，x∈R}={0，-4},∵BA,∴B=或{0}，{-4}，{0，-4}.

①当B=时，⊿=[2（a+1）]2-4（a2-1）<0.∴a<-1.

②当B={0}时，,∴a=-1.

③当B={-4}时，,∴此方程组无解.

④当B={0，-4}时，,∴a=1.

∴a的取值范围为：

a„-1或a=1．

难度分级：

B类

14.（2010·盐城模拟）已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|20}，且满足（A∪B）∩C＝，（A∪B）∪C＝R，求实数b，c的值．

【解题思路】：

因为A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|1

又因为（A∪B）∩C＝，（A∪B）∪C＝R，所以C＝{x|x>3或x<－2}，

则不等式x2＋bx＋c>0的解集为{x|x>3或x<－2}，即方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和3，

则b＝－（3－2）＝－1，c＝3×（－2）＝－6.

难度分级：

B类

15.已知全集U=R，集合A={x|x2-x-6<0}，B={x|x2+2x-8>0}，C={x|x2-4ax+3a2<0}，

（1）试求a的取值范围，使A∩BC；

（2）试求a的取值范围，使.

【解题思路】：

U=R，A=（-2，3），B=（-，-4）∪（2，+），故A∩B=（2，3），

（-，-2]∪[3，+），[-4，2]，=[-4，-2]，

∵x2-4ax+3a2<0即（x-3a）（x-a）<0，

∴当a<0时，C=（3a，a）；当a=0时，C=；当a>0时，C=（a，3a）.

（1）要使A∩BC，结合数轴知，解得1≤a≤2；

（2）类似地，要使，必有解得.

难度分级：

B类

【课堂训练】

1.若集合中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是 三角形.

【解题思路】：

根据集合中元素的互异性，a、b和c互不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形.

答案：

等腰

难度分级：

A类

2.设集合I={1，2，3}，AI,若把集合M∪A=I的集合M叫做集合A的配集，则A={1，2}的配集有个.

【解题思路】：

A的配集中一定含有元素3,余下两个元素1，2可以全不含、仅有一个、两个都有.

答案：

4

难度分级：

B类

3.三个元素的集合{1，a，}，也可表示为{0，a2，a+b}，求a2011+b2012的值．

【解题思路】：

依题意得,则b=0.所以,则.由互异性知.

所以a2011+b2012=-1.

难度分级：

B类

4.设集合A={5，log2（a+3）}，集合B={a，b}.若A∩B={2}，则A∪B=______________.

【解题思路】：

∵A∩B={2}，∴log2（a+3）=2.∴a=1.∴b=2.

∴A={5，2}，B={1，2}.∴A∪B={1，2，5}.

答案：

{1，2，5}.

难度分级：

A类

3.设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＞a}，若AB，则a的取值范围是___________________.

【解题思路】：

AB说明A是B的真子集，利用数轴（如下图）可知a