高一数学必修四第二章平面向量复习学案..doc
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第二章平面向量复习学案
一.知识回顾
（一）向量的基本概念：
1.向量的定义:
既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向
量的_____.
2.零向量:
模为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量方向任意。
3.单位向量:
模等于______________的向量叫做单位向量.与共线的单位向量是____.
（二）向量之间的关系：
共线向量（平行向量）:
方向______________的非零向量叫做共线向量.
规定:
_______与任意向量共线.其中模相等方向相同的向量叫做____________;模相等且方
向相反的向量叫做___________;
（三）向量的线性运算：
向量
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
（1）交换律：
a＋b＝b＋a；
（2）结合律：
（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋（－b）
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
（1）|λa|＝|λ||a|；
（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向______；当λ<0时，λa的方向与a的方向_____；当λ＝0时，λa＝0
λ（μa）＝（λμ）a；
（λ＋μ）a＝λa＋μa；
λ（a＋b）＝λa＋λb
（四）两个定理：
1.向量共线定理:
向量与非零向量共线有且只有一个实数λ,使得____________.
推论：
平面上三点A,B,C共线对于平面内任意一点,存在实数λ,μ,
使其中λ+μ=____.
2.平面向量基本定理:
如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的
任一向量,有且只有一对实数,使=_______________.
（五）向量的坐标表示及运算
1.平面向量的正交分解及其坐标表示:
.
2.平面向量的坐标运算:
若=（x1,y1）,=（x2,y2）,λ∈R,
则=_____________;=______________;=__________.
3.向量平行的坐标表示:
⇔_____________________.
4.向量模的公式:
设=（x,y）,则____________________
5.若已知点A（x1,y1）,B（x2,y2）,则向量=____________;
若M（xO,yO）是线段AB的中点，则有中点坐标公式
（六）平面向量的数量积
1.平面向量数量积的定义:
两个非零向量,其夹角为θ,=________
叫做和的数量积.其中_____________叫做向量在方向上的投影.
2.数量积的坐标运算:
设=（x1,y1）,=（x2,y2）,=________________;
3.两个向量垂直的等价条件:
设两个非零向量,则有
向量式:
⊥⇔__________；坐标式：
⊥⇔___________
4.几个重要性质:
①；②若与同向，则=_____;若与反向，则=______;
③两个非零向量,其夹角为θ,则=___________.④
（七）向量中一些常用的结论：
在中，①若，则其重心的坐标为__________
②为的_____心；
③为的______心；
④（或）O是的_____心；
⑤向量所在直线过的______心.
二.典例剖析
题型一：
平面向量及其线性运算
B
O
A
D
C
N
M
例1.如图所示，OADB是以向量为邻边的平行四边形，又，试用表示
题型二：
平面向量的坐标运算
题型三：
平面向量的数量积的应用
（一）与长度，距离有关的问题
例3.已知向量的夹角为，,求向量的模.
（二）与垂直有关的问题
例4.已知与的夹角为,若向量与垂直,求.
（三）与夹角有关的问题
例5.三角形ABC中，A（5，－1）、B（－1，7）、C（1，2），
求：
（1）BC边上的中线AM的长；
（2）cos∠ABC的值.
（四）与最值有关的问题
例6.已知且.
（1）用表示数量积；
（2）求的最小值，并求出此时与的夹角的大小.
当堂检测:
1．下列命题正确的是（）
A．单位向量都相等B．若则.
C．，则D．若与是单位向量，则
2．若三点共线，则有（）
A．B．C．D．
3.是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足
，,则点的轨迹一定通过的（）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
4．已知向量若用和表示，则_____________.
5．若，，则在上的投影为________________.
6．已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_________
7．已知与，要使最小，则实数的值为___________.
8.已知,,当为何值时，
（1）与垂直？
（2）与平行？
平行时它们是同向还是反向？
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