高一数学平面向量同步练习.doc

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第二章平面向量

一、选择题

1．如图所示，ABCD中，－＋等于（）．

A． B．

C． D．

（第2题）

2．在矩形ABCD中，||＝，||＝1，则向量（＋＋）的长等于（）．

A．2 B．2

C．3 D．4

3．如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于（）．

A． B．

C． D．

4．下列说法中正确的是（）．

A．向量a与非零向量b共线，向量b与向量c共线，则向量a与c共线

B．任意两个模长相等的平行向量一定相等

C．向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角

D．共线的两个非零向量不平行

5．下面有四个命题，其中真命题的个数为（）．

①向量的模是一个正实数．

②两个向量平行是两个向量相等的必要条件．

③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等．

④模相等的平行向量一定相等．

A．0 B．1 C．2 D．3

6．下列说法中，错误的是（）．

A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0

C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的

7．在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（）．

A．＝

B．＝

C．＝－

D．＋＝

8．下列向量组中能构成基底的是（）．

A．e1＝（0，0），e2＝（1，2） B．e1＝（-1，2），e2＝（5，7）

C．e1＝（3，5），e2＝（6，10） D．e1＝（2，-3），e2＝（，-）

9．已知a＝（-1，3），b＝（x，－1），且a∥b，则x等于（）．

A．3 B．－2 C． D．－

10．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则

①（a·b）·c－（c·a）·b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③（b·c）·a－（c·a）·b不与c垂直；④（3a＋2b）·（3a－2b）＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是（）．

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

二、填空题：

（第12题）

11．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b所成角的大小为．

12．在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_______．（用a，b表示）

13．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，那么a·b＝．

14．设m，n是两个单位向量，向量a＝m－2n，且a＝（2，1），则m，n的夹角为．

15．已知＝（6，1）．＝（x，y）．＝（-2，-3）．则向量的坐标为______．

三、解答题：

16．如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和．

（第16题）

17．已知A（1，2），B（2，3），C（－2，5），求证△ABC是直角三角形．

18．己知a＝（1，2），b＝（－3，2），当k为何值时，

（1）ka＋b与a－3b垂直？

（2）ka＋b与a－3b平行？

平行时它们是同向还是反向？

19．已知|m|＝4，|n|＝3，m与n的夹角为60°，a＝4m－n，b＝m＋2n，

c＝2m－3n．求：

（1）a2＋b2＋c2．

（2）a·b＋2b·c－3c·a．

第二章平面向量

参考答案

（第1题）

一、选择题

1．答案：

C

解析：

从图上可看出＝，则－＝－＝，而＋＝－＝．

2．D

解析：

如图

（第2题）

∵＋＋

＝＋＋

＝＋

（第3题）

＝2．

3．D

解析：

向量可以自由平移是本题的解题关键，平移

的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知．

∴－＝－＝＝．

4．A

解析：

向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．

模长相等的平行向量可能方向相反，故B不正确．向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，故C不对．而选项D中向量共线属于向量平行．

5．B

解析：

正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素入手区分其他有关概念．

①向量的模应是非负实数．

②是对的

③两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此，这两个向量不一定相等．

④模相等且方向相同的向量才相等．

6．A

（第7题）

解析：

零向量是规定了模长为0的向量，其方向是任意的，它和任一向量共线，因此，绝不是没有方向.

7．B

解析：

如图，G是重心，＝，所以B错．

＋＝＋＝＝，所以不能选D．

8．B

解析：

利用e1∥e2x1y2－x2y1＝0，

可得只有B中e1，e2不平行，故应选B．

9．C

解析：

由a∥b，得3x＝1，∴x＝．

10．D

解析：

①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；

②由向量的减法运算可知|a|，|b|，|a－b|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；

③因为［（b·c）·a－（c·a）·b］·c＝（b·c）·a·c－（c·a）·b·c＝0，所以垂直．故③假；

④（3a＋2b）·（3a－2b）＝9·a·a－4b·b＝9|a|2－4|b|2成立．故④真．

（第11题）

二、填空题

11．答案：

90°．

解析：

由|a＋b|＝|a－b|，可画出几何图形，如图，

|a－b|表示的是线段AB的长度，|a＋b|表示线段OC的长度，由｜AB｜＝｜OC｜，

∴平行四边形OACB为矩形，故向量a与b所成的角为90°．

12．答案：

a＋b．

（第12题）

解：

如图，由＝3，得4＝3＝3（a＋b），＝a＋b，

所以＝（a＋b）－（a＋b）＝－a＋b．

13．答案：

－63．

解析：

解方程组得

∴a·b=（－3）×5＋4×（－12）＝－63．

14．答案：

90°．

解析：

由a＝（2，1），得|a|＝，

∴a2＝5，于是（m－2n）2＝5m2＋4n2－4m·n＝5．

∴m·n＝0．

∴m，n的夹角为90°．

15．答案：

（x＋4，y－2）．

解析：

＝（6，1）＋（x，y）＋（－2，－3）＝（x＋4，y－2）．

三、解答题

（第16题）

16．答案：

＝b－a，=a－b

解：

如图，连结CN，则ANDC．

∴四边形ANCD是平行四边形．

＝－=－b，又∵＋＋＝0，

∴＝－－＝b－a．

∴＝－＝＋＝－b＋a＝a－b．

17．解析：

∵＝（2－1，3－2）＝（1，1），＝（－2－1，5－2）＝（－3，3）．

∴·＝1×（－3）＋1×3＝0．

∴⊥．

∴△ABC是直角三角形．

18．答案：

（1）当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直；

（2）当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，反向．

解析：

（1）ka＋b＝k（1，2）＋（－3，2）＝（k－3，2k＋2），

a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4）．

当（ka＋b）·（a－3b）＝0时，这两个向量垂直．

由（k－3，2k＋2）·（10，－4）＝0，得10（k－3）＋（2k＋2）（－4）＝0．

解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．

（2）当ka＋b与a－3b平行时，存在实数l，使ka＋b＝l（a－3b），

由（k－3，2k＋2）＝l（10，－4），

得

解得

即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，此时ka＋b＝－a＋b，

∵l＝－＜0，∴－a＋b与a－3b反向．

19．答案：

（1）366，

（2）－157．

解析：

∵｜m｜＝4，｜n｜＝3，m与n的夹角为60°，

∴m·n＝|m||n|cos60°＝4×3×＝6．

（1）a2＋b2＋c2

＝（4m－n）2＋（m＋2n）2＋（2m－3n）2

＝16｜m｜2－8m·n＋｜n｜2＋｜m｜2＋4m·n＋4｜n｜2＋4｜m｜2－12m·n＋9｜n｜2

＝21｜m｜2－16m·n＋14｜n｜2

＝21×16－16×6＋14×9

＝366．

（2）a·b＋2b·c－3c·a

＝（4m－n）·（m＋2n）＋2（m＋2n）·（2m－3n）－3（2m－3n）·（4m－n）

＝－16｜m｜2＋51m·n－23｜n｜2

＝－16×16＋51×6－23×9

＝－157．

另解：

a·b＋2b·c－3c·a＝b·（a＋2c）－3c·a＝…＝－157．

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