重庆市高考数学试卷文科.doc
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2015年重庆市高考数学试卷（文科）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（ ）
A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}
2．（5分）（2015•重庆）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）（2015•重庆）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（ ）
A．[﹣3，1] B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
4．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2015•重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A．± B．± C．±1 D．±
10．（5分）（2015•重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C． D．3
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5分）（2015•重庆）复数（1+2i）i的实部为 ．
12．（5分）（2015•重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 ．
13．（5分）（2015•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c= ．
14．（5分）（2015•重庆）设a，b＞0，a+b=5，则的最大值为 ．
15．（5分）（2015•重庆）在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为 ．
三、解答题：
本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（12分）（2015•重庆）已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．
17．（13分）（2015•重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号t
1
2
3
4
5
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
（Ⅰ）求y关于t的回归方程=t+．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款．
附：
回归方程=t+中
．
18．（13分）（2015•重庆）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
19．（12分）（2015•重庆）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=处取得极值．
（Ⅰ）确定a的值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）ex，讨论g（x）的单调性．
20．（12分）（2015•重庆）如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF∥BC．
（Ⅰ）证明：
AB⊥平面PFE．
（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长．
21．（13分）（2015•重庆）如题图，椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，且过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1．
（Ⅰ）若|PF1|=2+，|PF2|=2﹣，求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若|PQ|=λ|PF1|，且≤λ＜，试确定椭圆离心率e的取值范围．
2015年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015•重庆）已知集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B=（ ）
A．{2} B．{1，2} C．{1，3} D．{1，2，3}
【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可．
【解答】解：
集合A={1，2，3}，B={1，3}，则A∩B={1，3}．
故选：
C．
【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．
2．（5分）（2015•重庆）“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】先求出方程x2﹣2x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案．
【解答】解：
由x2﹣2x+1=0，解得：
x=1，
故“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的充要条件，
故选：
A．
【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题．
3．（5分）（2015•重庆）函数f（x）=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（ ）
A．[﹣3，1] B．（﹣3，1） C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域．
【解答】解：
由题意得：
x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0
解得x＞1或x＜﹣3
所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
故选D．
【点评】本题主要考查函数的定义域的求法．属简单题型．高考常考题型．
4．（5分）（2015•重庆）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（ ）
A．19 B．20 C．21.5 D．23
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：
样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，
则中位数为，
故选：
B
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．
5．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．
【解答】解：
由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为2，左侧与一个底面半径为1，高为1的半圆锥组成的组合体，
几何体的体积为：
=．
故选：
B．
【点评】本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力．
6．（5分）（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tanβ=tan[（α+β）﹣α]的值．
【解答】解：
∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，
故选：
A．
【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．
7．（5分）（2015•重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值．
【解答】解：
由已知非零向量满足||=4||，且⊥（），设两个非零向量的夹角为θ，
所以•（）=0，即2=0，所以cosθ=，θ∈[0，π]，所以；
故选C．
【点评】本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式是关键．
8．（5分）（2015•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．
【解答】解：
模拟执行程序框图，可得
s=0，k=0
满足条件k＜8，k=2，s=
满足条件k＜8，k=4，s=+
满足条件k＜8，k=6，s=++
满足条件k＜8，k=8，s=+++=
不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．
故选：
D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
9．（5分）（2015•重庆）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A．± B．± C．±1 D．±
【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A1B⊥A2C，可得，求出a=b，即可得出
双曲线的渐近线的斜率．
【解答】解：
由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），
∵A1B⊥A2C，
∴，
∴a=b，
∴双曲线的渐近线的斜率为±1．
故选：
C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．（5分）（2015•重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C． D．3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：
作出不等式组对应的平面区域如图：
若表示的平面区域为三角形，
由，得，即A（2，0），
则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，
即2+2m＞0，
则m＞﹣1，
则A（2，0），D（﹣2m，0），
由，解得，即B（1﹣m，1+m），
由，解得，即C（，）．
则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC
=|AD||yB﹣yC|
=（2+2m）（1+m﹣）
=（1+m）（1+m﹣）=，
即（1+m）×=，
即（1+m）2=4
解得m=1或m=﹣3（舍），
故选：
B
【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．（5分）（2015•重庆）复数（1+2i）i的实部为 ﹣2 ．
【分析】利用复数的运算法则化简为a+bi的形式，然后找出实部；注意i2=﹣1．
【解答】解：
（1+2i）i=i+2i2=﹣2+i，所以此复数的实部为﹣2；
故答案为：
﹣2．
【点评】本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i2=﹣1．属于基础题．
12．（5分）（2015•重庆）若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 x+2y﹣5=0 ．
【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程．
【解答】解：
由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率
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