选修4-2矩阵与变换习题.doc
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第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵
1.矩阵的概念
—
2
—
3
—
y
x
2
3
O
P
（2,3）
①=（2,3），将的坐标排成一列，并简记为
②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：
初赛
复赛
甲
80
90
乙
86
88
2
3
m
3
－2
4
简记为
③
概念一：
象的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示，横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.
名称介绍：
①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：
行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。
③行矩阵：
[a11,a12]（仅有一行）
④列矩阵：
（仅有一列）
⑤向量＝（x,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵或列矩阵，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量的形式。
练习1：
1.已知,，若A=B，试求
2.设，，若A=B，求x,y,m,n的值。
概念二：
由4个数a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。
a,b,c,d称为矩阵的元素。
①零矩阵：
所有元素均为0，即，记为0。
②二阶单位矩阵：
，记为E2.
二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义：
规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为，即＝＝
练习2：
1.
（1）＝
（2）＝
2.=，求
三、二阶矩阵与线性变换
1.旋转变换
问题1:
P（x,y）绕原点逆时针旋转180o得到P’（x’,y’）,称P’为P在此旋转变换作用下的象。
其结果为，也可以表示为，即＝＝怎么算出来的？
问题2.P（x,y）绕原点逆时针旋转30o得到P’（x’,y’）,试完成以下任务①写出象P’；②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.
30o
问题3.把问题2中的旋转30o改为旋转角，其结果又如何？
2.反射变换
定义：
把平面上任意一点P对应到它关于直线的对称点P’的线性变换叫做关于直线的反射。
研究：
P（x,y）关于x轴的反射变换下的象P’（x’,y’）的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：
将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，（、均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。
试分别研究以下问题：
①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
②.将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义：
将平面上每个点P对应到它在直线上的投影P’（即垂足），这个变换称为关于直线的投影变换。
研究：
P（x,y）在x轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
定义：
将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移个单位，称为平行于x轴的切变变换。
将每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移个单位，称为平行于y轴的切变变换。
研究：
这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。
练习：
P101.2.3.4
四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P（2,2）在A所对应的线性变换下的象。
练习：
P131.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1（1,-5），则该切变变换对应的坐标公式为
7.设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P（2,1）的像的坐标为
10.已知点A（2，－1），B（－2，3），则向量在矩阵对应的线性变换下得到的向量坐标为
11.向量在矩阵的作用下变为与向量平行的单位向量，则＝
12.已知，＝，＝，设，，①求，；
13.已知，＝，＝，若与的夹角为135o，求x.
14.一种线性变换对应的矩阵为。
①若点A在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A的坐标；②解释该线性变换的几何意义。
15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为。
求①点A（1/5,3）在该变换作用下的像；②圆上任意一点在该变换作用下的像。
答案：
1. 2. 3.4. 5.6. 7.－1 8. 9.（0，5） 10.（2，8） 11.， 12.、
13.ｘ＝2/314.（5,y）15.,
第二讲线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：
设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：
设，，则
性质1：
设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：
；②分配律：
【探究1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。
二、直线在线性变换下的图形
研究分别在以下变换下的像所形成的图形。
①伸缩变换：
②旋转变换：
③切变变换：
④特别地：
直线x=a关于x轴的投影变换？
性质2：
二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成.
（证明见课本P19）
三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形
分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。
①恒等变换：
②旋转变换：
③切变变换：
④反射变换：
⑤投影变换：
【练习：
P27】
【应用】
试研究函数在旋转变换作用下得到的新曲线的方程。
四、复合变换与二阶矩阵的乘法
1.研究任意向量先在旋转变换：
作用，再经过切变变换：
作用的向量
2.二阶矩阵的乘积
定义：
设矩阵A＝，B＝，则A与B的乘积
AB＝＝
【应用】
1.计算＝
2.A＝，B＝，求AB
3.求在经过切变变换：
A=，及切变变换：
B=两次变换后的像。
4.设压缩变换：
A＝，旋转变换：
B＝，将两个变换进行复合，①求向量在复合变换下的像；②求在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？
5.试研究椭圆①伸缩变换：
②旋转变换：
；③切变变换：
；④反射变换：
；⑤投影变换：
五种变换作用下的新曲线方程。
进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。
【练习：
P35】
【第二讲.作业】A.B.C.D.
1.下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（）
A.反射变换 B.投影变换 C.切变变换 D.伸缩变换
2.在切变变换：
作用下，直线y=2x-1变为
3.在A＝作用下，直线变为y=-2x-3,则直线为
4.在对应的线性边变换作用下，椭圆变为
5.已知平面内矩形区域为（0≤x1≤1,0≤x2≤2）,若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为
6.将椭圆绕原点顺时针旋转45ｏ后得到新的椭圆方程为
7.在对应的线性边变换作用下，圆（x+1）2+（y+1）2=1变为
8.计算：
①＝
②＝
③＝
9.向量经过和两次变换后得到的向量为
10.向量先逆时针旋转45o，再顺时针旋转15o得到的向量为
11.函数的图像经过的伸缩变换，和的反射变换后的函数是
12.椭圆先后经过反射变换和伸缩变换后得到的曲线方程为
13.已知Ｍ＝，且ＭＮ＝，求矩阵Ｎ。
14.分别求出在、、对应的线性边变换作用下，椭圆变换后的方程，并作出图形。
15.函数先后经过怎样的变换可以得到？
写出相应的矩阵。
答案：
1.Ａ 2.y=-13.3x-y+3=04.y=-x5.6.7.y=x（－2≤x≤0） 8.、 、9.10.11.
12. 13. 14.y=-2x（－2≤x≤2）、y=0（－2≤x≤2）、15.＝
第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性质
【应用】
1.设Ａ＝，求Ａ8
2.【练习：
P41】
二、逆变换与逆矩阵
1.逆变换：
设是一个线性变换，如果存在一个线性变换，使得
＝＝，（是恒等变换）则称变换可逆，其中是的逆变换。
2.逆矩阵：
设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
符号、记法：
，读作Ａ的逆。
【应用】
1.试寻找Ｒ30o的逆变换。
【应用】
1.A＝，问A是否可逆？
若可逆，求其逆矩阵。
2.A＝，问A是否可逆？
若可逆，求其逆矩阵。
由以上两题，总结一般矩阵A＝可逆的必要条件。
三、逆矩阵的性质
1.二阶矩阵可逆的唯一性。
2.设二阶矩阵A、B均可逆，则也可逆，且
【练习：
P50】
【第三讲.作业】
1.已知非零二阶矩阵A、B、C，下列结论正确的是 （ ）
A.AB=BAB.（AB）C=A（BC）C.若AC=BC则A=BD.若CA=CB则A=B
2.下列变换不存在逆变换的是 （ ）
A.沿x轴方向，向y轴作投影变换。
B.变换。
C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。
D.以y轴为反射变换
3.下列矩阵不存在逆矩阵的是 （ ）
A.B.C.D.
4.设A,B可逆，下列式子不正确的是（）
A.B.
C.D.
5.，则Ｎ2＝
6.＝
7.＝
8.设，则向量经过先Ａ再Ｂ的变
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