选修2-1空间向量单元测试题(经典).doc
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第三章 单元质量评估
（二）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋（＋）＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：
在△BCD中，因为G是CD的中点，所以＝（＋），从而＋（＋）＝＋＝，故选A.
答案：
A
2．设l1的方向向量为a＝（1,2，－2），l2的方向向量为b＝（－2,3，m），若l1⊥l2，则m等于（ ）
A．1 B．2
C. D．3
解析：
∵l1⊥l2，
∴a·b＝0，代入可解得m＝2.
答案：
B
3．已知i，j，k为单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于（ ）
A．－15 B．－5
C．－3 D．－1
解析：
∵i，j，k两两垂直且|i|＝|j|＝k|＝1，∴5a·3b＝（15i＋10j－5k）·（3i－3j＋6k）＝45－30－30＝－15.
答案：
A
4．已知二面角α—l—β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为（ ）
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：
设m，n的方向向量分别为m，n.
由m⊥α，n⊥β知m，n分别是平面α，β的法向量．
∵|cos〈m，n〉|＝cos60°＝，∴〈m，n〉＝60°或120°.
但由于两异面直线所成的角的范围为，
故异面直线m，n所成的角为60°.
答案：
B
5．已知向量a＝（1,2,3），b＝（－2，－4，－6），|c|＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：
设向量a＋b与c的夹角为α，因为a＋b＝（－1，－2，－3，），|a＋b|＝，cosα＝＝，
所以α＝60°.
因为向量a＋b与a的方向相反，所以a与c的夹角为120°.故选C.
答案：
C
6．如图，空间四边形OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为（ ）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
解析：
∵MG＝2GN，∴＝.
故＝＋＝＋（－）
＝＋＝×＋
＝＋＋.
答案：
D
7．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC—A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：
不妨设CB＝1，则CA＝CC1＝2.由题图知，A点的坐标为（2,0,0），B点的坐标为（0,0,1），B1点的坐标为（0,2,1），C1点的坐标为（0,2,0）．
所以＝（0,2，－1），＝（－2,2,1）．
所以cos〈，〉＝
＝.
答案：
A
8．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：
如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设该正方体的棱长为2，则A1（2,0,2），M（0,1,0），N（0,2,1）．∴＝（－2,1，－2），＝（0,2,1），∴cos〈，〉＝＝0.∴异面直线A1M与DN所成角的大小是90°.
答案：
D
9．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
解析：
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
∵|A1B|＝|AC|＝a，
∴＝，＝，
＝＋＋＝－＋＋
＝－－＋＋＋
＝＋＝＋.
因此，，共面．
又∵MN⊄平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C.
答案：
B
10．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：
设正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长均为1，以B为原点，建立空间直角坐标系（如图），则C1（0,1,1），A，＝，又平面BB1C1C的一个法向量n＝（1,0,0），所以AC1与平面BB1C1C所成的角θ的正弦值sinθ＝＝＝，
得cosθ＝＝.
答案：
A
11．如图，在四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为（ ）
A. B.
C．－ D.
解析：
如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E.
设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，
PA＝PB＝，可以求得BD＝，
ED＝.∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，∴·＝－，∴cos〈，〉＝－，故选C.
答案：
C
12．如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：
以B为原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，则B（0,0,0），A（0,3,0），P（0,0,3），D（3,3,0），E（0,2,1），∴＝（0,2,1），＝（3,3,0）．
设平面BED的一个法向量为n＝（x，y，z），
则即∴
令z＝1，则n＝.
又平面ABE的一个法向量为m＝（1,0,0），∴cos〈n，m〉＝，即平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.
答案：
B
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上）
13．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
解析：
＝＋＋＝－（＋）＋＋（－）＝－－＋.
答案：
－－＋
14．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________．
解析：
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（如图所示），
则A1（4,0,3），B（4,4,0），B1（4,4,3），C（0,4,0），得＝（0,4，－3），＝（－4,0，－3）．
故cos〈，〉＝＝.
答案：
15．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，P，M为空间任意两点，如果有＝＋6＋7＋4，那么M点一定在平面________内．
解析：
∵＝－＝＋6＋6＋4＝＋6＋4＝＋2＋4，
∴－＝2＋4，
即＝2＋4.
故，，共面，即M点在平面A1BCD1内．
答案：
A1BCD1
16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C—AB—D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于________．
解析：
设AB＝2，作CO⊥平面ABDE，OH⊥AB，连接CH，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C—AB—D的平面角，CH＝，OH＝CH·cos∠CHO＝1.结合等边△ABC与正方形ABDE可知四棱锥C—ABDE为正四棱锥，则AN＝EM＝CH＝，＝（＋），＝－，·＝（＋）·＝，故EM，AN所成角的余弦值为＝.
答案：
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC的中点．
（1）化简：
－－；
（2）设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值．
解：
（1）－（＋）＝－＝.
（2）∵＝－＝（＋）－－
＝－－，
∴x＝，y＝－，z＝－.
18．（12分）在长方体OABC—O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
（1）求直线AO1与B1E所成角的余弦值；
（2）作O1D⊥AC于点D，求点O1到点D的距离．
解：
（1）建立如图的空间直角坐标系，则O（0,0,0），A（2,0,0），B（2,3,0），C（0,3,0），E（1,3,0），O1（0,0,2），A1（2,0,2），B1（2,3,2），C1（0,3,2），
∴＝（－2,0,2），＝（－1,0，－2），
∴cos〈，〉＝＝＝－.
故直线AO1与B1E所成角的余弦值为.
（2）设D（x0，y0,0），＝（x0，y0，－2），＝（－2,3,0），＝（x0－2，y0,0）．
∵⊥且∥，
∴∴
∴＝，∴||＝，
∴点O1到点D的距离为.
19．（12分）如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F.
（1）求证：
A1C⊥平面BED；
（2）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．
解：
（1）证明：
如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz，则D（0,0,0），A（2,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），A1（2,0,4），B1（2,2,4），C1（0,2,4），D1（0,0,4）．
设E（0,2，t），则＝（－2,0，t），＝（－2,0，－4）．
∵BE⊥B1C，
∴·＝4＋0－4t＝0，即t＝1.
故E（0,2,1），＝（－2,0,1）．
又∵＝（－2,2，－4），＝（2,2,0），
∴·＝4＋0－4＝0，且·＝－4＋4＋0＝0.
因此⊥且⊥，即A1C⊥BD且A1C⊥BE.
故A1C⊥平面BDE.
（2）由
（1）知＝（－2,2，－4）是平面BDE的一个法向量，
又∵＝（0,2，－4），
∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与平面BDE所成角的正弦值为.
20．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角．
（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：
BE⊥PD；
（2）求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
解：
（1）证明：
∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA.
又∵AB⊥AD，AD∩AP＝A，
∴AB⊥平面PAD.∴PD⊥AB.
又∵PD⊥AE，AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABE，∴BE⊥PD.
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥AB.
又AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．
如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0,0），C（a，a,0），D（0,2a,0），＝（0,2a,0）．
∵PA⊥平面ABCD，∴∠ADP是PD与平面ABCD所成的角．∴∠ADP＝30°.
∵AD＝2a，∴PA＝2atan30°＝a，
∴P.
∴＝，＝.
设n＝（x，y，z）为平面PCD的一个法向量，
则即
取x＝1，则n＝（1,1，）是平面PCD的一个法向量．
易知＝（0,2a,0）为平面PAB的一个法向量，
∴cos〈n，〉＝＝.
∴平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.
21．（12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB，D，E分别为棱C1C，B1C1的中点．
（1）求点B到平面A1C1CA的距离；
（2）求二面角B—A1D—A的余弦值；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1
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