辽宁省高考数学试卷理科.doc
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2013年辽宁省高考数学试卷(理科)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数的模长为( )
A. B. C. D.2
2.(5分)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( )
A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]
3.(5分)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
4.(5分)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:
数列{an}是递增数列;
p2:
数列{nan}是递增数列;
p3:
数列是递增数列;
p4:
数列{an+3nd}是递增数列;
其中真命题是( )
A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4
5.(5分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )
A.45 B.50 C.55 D.60
6.(5分)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=( )
A. B. C. D.
7.(5分)使得(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=( )
A. B. C. D.
9.(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.
C. D.
10.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B. C. D.
11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=( )
A.16 B.﹣16 C.﹣16a2﹣2a﹣16 D.16a2+2a﹣16
12.(5分)设函数f(x)满足x2f′(x)+2xf(x)=,f
(2)=,则x>0时,f(x)( )
A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值
C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .
14.(5分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根,则S6= .
15.(5分)已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则C的离心率e= .
16.(5分)为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为 .
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)设向量,,.
(1)若,求x的值;
(2)设函数,求f(x)的最大值.
18.(12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(Ⅰ)求证:
平面PAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若AB=2,AC=1,PA=1,求证:
二面角C﹣PB﹣A的余弦值.
19.(12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
20.(12分)如图,抛物线C1:
x2=4y,C2:
x2=﹣2py(p>0),点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O),当x0=1﹣时,切线MA的斜率为﹣.
(Ⅰ)求P的值;
(Ⅱ)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
21.(12分)已知函数f(x)=(1+x)e﹣2x,g(x)=ax++1+2xcosx,当x∈[0,1]时,
(I)求证:
;
(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
请考生在21、22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(10分)选修4﹣1:
几何证明选讲
如图,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切与E,AD垂直于CD于D,BC垂直于CD于C,EF垂直于F,连接AE,BE.证明:
(I)∠FEB=∠CEB;
(II)EF2=AD•BC.
23.在直角坐标系xOy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos()=2.
(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;
(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
24.已知函数f(x)=|x﹣a|,其中a>1
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4﹣|x﹣4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)﹣2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2},求a的值.
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)复数的模长为( )
A. B. C. D.2
【解答】解:
复数,
所以===.
故选B.
2.(5分)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( )
A.(0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.(1,2]
【解答】解:
由A中的不等式变形得:
log41<log4x<log44,
解得:
1<x<4,即A=(1,4),
∵B=(﹣∞,2],
∴A∩B=(1,2].
故选D
3.(5分)已知点A(1,3),B(4,﹣1),则与向量同方向的单位向量为( )
A. B. C. D.
【解答】解:
∵已知点A(1,3),B(4,﹣1),∴=(4,﹣1)﹣(1,3)=(3,﹣4),||==5,
则与向量同方向的单位向量为=,
故选A.
4.(5分)下列关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:
数列{an}是递增数列;
p2:
数列{nan}是递增数列;
p3:
数列是递增数列;
p4:
数列{an+3nd}是递增数列;
其中真命题是( )
A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4
【解答】解:
∵对于公差d>0的等差数列{an},an+1﹣an=d>0,∴命题p1:
数列{an}是递增数列成立,是真命题.
对于数列{nan},第n+1项与第n项的差等于(n+1)an+1﹣nan=(n+1)d+an,不一定是正实数,
故p2不正确,是假命题.
对于数列,第n+1项与第n项的差等于﹣==,不一定是正实数,
故p3不正确,是假命题.
对于数列{an+3nd},第n+1项与第n项的差等于an+1+3(n+1)d﹣an﹣3nd=4d>0,
故命题p4:
数列{an+3nd}是递增数列成立,是真命题.
故选D.
5.(5分)某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是( )
A.45 B.50 C.55 D.60
【解答】解:
∵成绩低于60分有第一、二组数据,
在频率分布直方图中,对应矩形的高分别为0.005,0.01,
每组数据的组距为20,
则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3,
又∵低于60分的人数是15人,
则该班的学生人数是=50.
故选:
B.
6.(5分)在△ABC,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则∠B=( )
A. B. C. D.
【解答】解:
利用正弦定理化简已知等式得:
sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,
∵sinB≠0,∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=,
∵a>b,∴∠A>∠B,即∠B为锐角,
则∠B=.
故选A
7.(5分)使得(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解答】解:
设(n∈N+)的展开式的通项为Tr+1,
则:
Tr+1=3n﹣r••xn﹣r•=3n﹣r••,
令n﹣r=0得:
n=r,又n∈N+,
∴当r=2时,n最小,即nmin=5.
故选B.
8.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出的S=( )
A. B. C. D.
【解答】解:
输入n的值为10,框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2,
判断2≤10成立,执行,i=2+2=4;
判断4≤10成立,执行=,i=4+2=6;
判断6≤10成立,执行,i=6+2=8;
判断8≤10成立,执行,i=8+2=10;
判断10≤10成立,执行,i=10+2=12;
判断12≤10不成立,跳出循环,算法结束,输出S的值为.
故选A.
9.(5分)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3),若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.
C. D.
【解答】解:
∵=(a,a3﹣b),,=(a,a3),且ab≠0.
①若,则=ba3=0,∴a=0或b=0,但是ab≠0,应舍去;
②若,则=b(a3﹣b)=0,∵b≠0,∴b=a3≠0;
③若,则=a2+a3(a3﹣b)=0,得1+a4﹣ab=0,即.
综上可知:
△OAB为直角三角形,则必有.
故选C.
10.(5分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B. C. D.
【解答】解:
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,
所以三棱柱的底面是直角三角形,侧棱与底面垂直,侧面B1BCC1,经过球的球心,球的直径是其对角线的长,
因为AB=3,AC=4,BC=5,BC1=,
所以球的半径为:
.
故选C.
11.(5分)已知函数f(x)=x2﹣2(a+2)x+a2,g(x)=﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q})表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值),记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A﹣B=( )
A.16 B.﹣16 C.﹣16a2﹣2a﹣16 D.16a2+2a﹣16
【解答】解:
令h(x)=f