轨迹方程的求法及典型例题(含答案).doc

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轨迹方程的求法

一、知识复习

轨迹方程的求法常见的有

（1）直接法；

（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法

注意：

求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.

一、知识复习

例1：

点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。

例2、如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：

设AB的中点为R，坐标为（x,y），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：

在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－（x2+y2）

又|AR|=|PR|=

所以有（x－4）2+y2=36－（x2+y2）,即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q（x,y），R（x1,y1），因为R是PQ的中点，所以x1=,

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

－10=0

整理得：

x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

例3、如图,直线L1和L2相交于点M, L1^L2,点NÎL1.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若DAMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.

解法一：

如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。

依题意知：

曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。

设曲线段C的方程为，

其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。

由①，②两式联立解得。

再将其代入①式并由p>0解得

因为△AMN是锐角三角形，所以，故舍去

∴p=4,xA=1

由点B在曲线段C上，得。

综上得曲线段C的方程为

解法二：

如图建立坐标系，分别以l1、l2为

轴，M为坐标原点。

作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F

设A（xA,yA）、B（xB,yB）、N（xN,0）

依题意有

例4、已知两点以及一条直线：

y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．

解：

PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，

则PA：

QB：

消去t，得

当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是

例5、设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

解法一：

设M（x,y），直线AB的方程为y=kx+b

由OM⊥AB，得k=－

由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+（2kb－4p）x+b2=0

所以x1x2=,y1y2=，

由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2

所以=－,b=－4kp

故y=kx+b=k（x－4p）,

得x2+y2－4px=0（x≠0）

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），

它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.

①

②

③

④

⑤|

解法二：

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,M（x,y）依题意，有

①－②得（y1－y2）（y1+y2）=4p（x1－x2）

若x1≠x2,则有 ⑥①×②,得y12·y22=16p2x1x2③代入上式有y1y2=－16p2 ⑦

⑥代入④，得 ⑧⑥代入⑤，得所以

即4px－y12=y（y1+y2）－y12－y1y2⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0（x≠0）

当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M（4p,0）仍满足方程.

故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0）它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.

轨迹方程（练习1）

1．（08、山东文22）已知曲线：

所围成的封闭图形的面积为

，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的

垂直平分线，是上异于椭圆中心的点．

①若＝λ（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；

②若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．

解：

（1）由题意得

椭圆方程：

＝1．

（2）若AB所在的斜率存在且不为零，设

AB所在直线方程为y＝kx（k≠0），A（）．

①由

．

设M（x，y），由|MO|＝λ|OA|（λ≠0）|MO|2＝λ2|OA|2．

因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝k＝，代入上式有：

，由，

当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为，（λ0）．

②当k存在且k0时，|OA|2＝．

由．

＝．

≥．

＝≥，

当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝1时等号成立．

当；

当k不存在时，．

综上所述，的面积的最小值为．

2．（07、江西理21）设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

（1）证明：

动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

（2）过点作直线与双曲线的右支于两点，试确定的范围，使·＝0，其中点为坐标原点．

解：

（1）在中，，即，

，即（常数），

点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，方程为：

．

（2）设，

①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．

即，

因为，所以．

②当不垂直于轴时，设的方程为．

由得：

，由题意知：

，

．

由·＝0，且在双曲线右支上，

所以．

由①②知．

3．（09、海南）已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆上的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解：

（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c．由已知得a＝4，c＝3椭圆C的方程为．

（2）设M（x，y），P（，）．

其中∈[－4，4]，＝x．有……①

由得：

＝．

故

【下面是寻找关系式＝f（x，y），＝g（x，y）的过程】

又……………………………………②

②式代入①：

并整理得：

，所以点M的轨迹是两条平行于x轴的线段．

轨迹方程（练习2）

4．（09、重庆理）已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，M是椭圆上的动点．

（1）若C、D的坐标分别是（0，√3）、（0，－√3），求·的最大值；21世纪教育网

（2）如图，点A的坐标为（1，0），点B是圆上的点，点N是点M（椭圆上的点）在轴上的射影，点Q满足条件：

＝＋，·＝0．求线段QB的中点P的轨迹方程．

解：

（1）设椭圆方程为：

（a＞b＞0）．准线方程＝，＝，椭圆方程为：

．所以：

C、D是椭圆的两个焦点＋＝4．·≤，当且仅当＝，即点M的坐标为时上式取等号·的最大值为4．

（2）设，，N（）

，．

由＝＋

，

………①

由·＝0

（）·（）＝（）（）＋＝0

…………②

记P点的坐标为（，），因为P是的中点

，

＝

＝＝

动点P的方程为：

．

5．（09、安徽）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切．

（1）求a与b的值；

（2）设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交于点p.求线段的垂直平分线与直线的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型

解：

（1）e＝＝．又圆心（0，0）到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝，

∴＝2，＝3．

（2）（－1，0）、（1，0），由题意可设P（1，t）（t≠0）.那么线段的中点为N（0，）．

的方程为：

y＝t，设M（）是所求轨迹上的任意点.

【下面求直线MN的方程，然后与直线的方程联立，求交点M的轨迹方程】

直线的斜率k＝，∴线段的中垂线MN的斜率＝－．

所以：

直线MN的方程为：

y－＝－x．由，

消去参数t得：

，即：

，其轨迹为抛物线（除原点）．

又解：

由于＝（－x，－y），＝（－x，－y）．∵·＝0，

∴，消参数t得：

（x≠0），其轨迹为抛物线（除原点）．

6．（07湖南理20）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．【直接法求轨迹】

（1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；

（2）在轴上是否存在定点，使·为常数？

若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）由条件知，，设，．设，则

，，，

由

的中点坐标为．

当不与轴垂直时，，

即．

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即．

将代入上式，化简得．

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

所以点的轨迹方程是．

（2）假设在轴上存在定点，使·为常数．

当不与轴垂直时，设直线的方程是．

代入有．

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是·

．

因为·是与无关的常数，所以，即，此时·＝－1．

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

此时·＝（1，√2）·（1，－√2）＝－1．故在轴上存在定点，使·为常数．

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