解析几何离心率专题突破.doc

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离心率的五种求法

离心率的五种求法

椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．

一、直接求出、，求解

已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解2012年5月6日星期日决。

例1：

已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

解：

抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D

变式练习1：

若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（）

A.B.C.D.

解：

由、知，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C.

变式练习2：

如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）

A.B.C.D

解：

由题设，，则，，因此选C

变式练习3：

点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）

ABCD

解：

由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，，则，故选A

二、构造、的齐次式，解出

根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。

例2：

已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.　　B.　　C.　　D.

解：

如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式，

即，得，解得

（舍去），故选D

变式练习1：

设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

解：

由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，

又,∴,两边平方，得，整理得，

得或，又，∴，∴，∴，故选A

变式练习2：

双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（）

ABCD

解：

如图所示，不妨设，，，则

，又，

在中，由余弦定理，得,

即，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，故选B

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：

设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

解：

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

例4：

设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .

解：

如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义，

变式练习：

在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（）

ABCD

解：

五、构建关于的不等式，求的取值范围

例5：

设，则二次曲线的离心率的取值范围为（）

A.B.C.D.

另：

由，，得，,

∴,∴

∵，∴,∴，∴，故选D

例6：

如图，已知梯形中，，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围。

解：

以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．依题意，记，，，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．

由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得①

将点的坐标代入双曲线方程得②

再将①、②得，∴③

④

将③式代入④式，整理得，∴，由题设得：

，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为

配套练习

1.设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）

A. B. C. D.

2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）

A． B． C． D．

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）

ABCD

4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为ABCD

5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（）

ABCD

6．如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A B C D

8．设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（）

A B C D

9．已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

ABCD

10．椭圆（）的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

答案：

1.由可得故选D

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴，椭圆的离心率，选D。

3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A

4.不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝

5.不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则有，据此解得e＝，选C

6.解析：

如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴，双曲线的离心率为，选D。

7.由已知P（），所以化简得．

8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。

若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴离心率，选B。

9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，选C

10.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，选D

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