解析几何七种常规题型及方法.doc

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解析几何七种常规题型及方法

常规题型及解题的技巧方法

A:

常规题型方面

一、一般弦长计算问题：

例1、已知椭圆，直线被椭圆C截得的弦长为，且，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线被椭圆C截的弦长AB，

⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：

把直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解.

解析：

⑴由被椭圆C截得的弦长为，得，………①

又，即，所以………………………….②

联立①②得，所以所求的椭圆的方程为.

⑵∴椭圆的右焦点，∴的方程为：

，

代入椭圆C的方程，化简得，

由韦达定理知，

从而，

由弦长公式，得，

即弦AB的长度为

点评：

本题抓住的特点简便地得出方程①，再根据得方程②，从而求得待定系数，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题：

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：

设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题给定双曲线。

过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。

分析：

设，代入方程得，。

两式相减得

。

又设中点P（x,y），将，代入，当时得

。

又，

代入得。

当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是

说明：

本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。

例2、过点作抛物线的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。

思路分析：

因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率，有P是弦的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.

解法1：

设以P为中点的弦AB端点坐标为，

则有，两式相减，得

又

则，所以所求直线AB的方程为，即.

解法2：

设AB所在的直线方程为

由，整理得.

设，由韦达定理得，

又∵P是AB的中点，∴，∴

所以所求直线AB的方程为.

由整理得，，则

有弦长公式得，.

点评：

解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.

三、焦点弦长问题：

例3、（同例1、⑵）

另解：

⑵∴椭圆的右焦点，∴的方程为：

，

代入椭圆C的方程，化简得，

由韦达定理知，

由过右焦点，有焦半径公式的弦长为.

即弦AB的长度为

点评：

在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.

弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式就能解决问题。

但实际中，除个别简单题（本文从略）外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。

本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。

一、两线段相等

类型I有相同端点的不共线线段

例1、（2204，北京西城区二模）

已知定点，过点A做倾斜角为的直线L，交抛物线于A、B两点，且成等比数列

（1）求抛物线方程；

（2）问

（1）中抛物线上是否存在D，使得成立？

若存在，求出D的坐标。

策略分析：

由于D、B、C三点不共线，要使得成立，只需取BC中点P，满足。

由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习：

例2、（2005，孝感二模）

已知

（1）求点P（x,y）的轨迹方程C；

（2）若直线L：

（）与曲线C交与AB两点，D（0,－1），且有，试求b的取值范围。

类型II共线线段

例3、直线L与x轴不垂直，与抛物线交于AB两点，与椭圆交于CD两点，与x轴交于点M，且，求的取值范围。

策略分析：

不妨设A在B下方，C在D下方，由于ABCD共线，要使,只需，即，结合韦达定理可得结果。

二、三线段相等

类型I正三角形

例4、（2003，北京春招）

已知动圆过定点P（1,0）且与定直线L：

x=－1相切，点C在L上

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P且斜率为的直线与曲线M相交于AB两点

①问三角形ABC能否为正三角形？

若能，求点C坐标；若不能，说明理由；

②问三角形ABC能否为钝角三角形？

若能，求点C纵坐标的取值范围；若不能，说明理由。

策略分析：

对于本题涉及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的。

所以，只需设C（－1，y），根据和分别列方程求y值，判断两个y值是否相等。

例5、（2005，学海大联考六）

如图，在直角坐标系中，点A（-1,0）、B（1,0）、P（x,y），设，与x轴正方向的夹角分别为，且

（1）求点P的轨迹G的方程；

（2）设过点C的直线L与轨迹G交于

不同的两点MN，问在x轴上是否存在一点

E使为正三角形？

策略分析：

设直线L：

y=kx-1，由韦达定理求出MN中点F的坐标，再根据，求出；利用弦长公式求出｜MN｜，再根据解得。

注意代入验证。

类型II共线线段

例6、（2004，广东高考卷）

设直线与椭圆相交于AB两点，又与双曲线相交于CD两点，CD三等分线段AB，求的方程。

策略分析：

实质是。

当与x轴垂直时，方程为；当与x轴不垂直时，先由，利用例3的方法，求得或，然后分类讨论求出ABCD的横坐标，利用，得出和。

三、线段成比例

类型I两个已知点一个未知点

例7、（2005，黄冈调研）

已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆的右焦点F做直线L，使，又L与交于点P。

设L与椭圆的两个交点由上到下依次为AB，

（1）当夹角为，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

（2）当时，求的最大值。

策略分析：

F点和P点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A点坐标，代入椭圆方程即可。

类型II一个已知点两个未知点

例8、（2004，全国卷）

设双曲线C：

（a>0）与直线L：

相交于两个不同的点AB

（1）求双曲线的离心率e的取值范围；

（2）设直线L与y轴的交点为P，且，求a值。

策略分析：

设A、B、，由知，于是，，，前式平方除以后式消掉，结合韦达定理即可求出a。

注：

更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB，且，其中，，则，可以算出和，利用例8思想求解；或者，使用以下技巧，结合韦达定理。

（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

典型例题设P（x,y）为椭圆上任一点，，为焦点，，。

（1）求证离心率；

（2）求的最值。

分析：

（1）设，，由正弦定理得。

得，

（2）。

当时，最小值是；

当时，最大值是。

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

【高考会这样考】

1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．

2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．

基础梳理

1．直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A、B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元方程．

即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.

（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点．

（2）当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．

2.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：

（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：

设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。

①.若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若，设。

.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

双基自测

1．（人教A版教材习题改编）直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（　　）．

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

解析　直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1恒过定点（1,1），而点（1,1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．

答案　A

2．（2012·泉州质检）“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（　　）．

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．

答案　A

3．已知以F1（－2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（　　）．

A．3B．2C．2D．4

解析　根据题意设椭圆方程为＋＝1（b＞0），则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4（b2＋1）y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝（8b2）2－4×4（b2＋1）·（－b4＋12b2）＝0，即（b2＋4）（b2－3）＝0，∴b2＝3，

长轴长为2＝2.

答案　C

4．（2012·成都月考）已知双曲线E的中心为原点，F（3,0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（－12，－15），则E的方程为（　　）．

A.－＝1B.－＝1C.－＝1 D.－＝1

解析　设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：

两式作差得：

＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程是－＝1.

答案　B

5．（2011·泉州模拟）y＝kx＋2与y2＝8x有且仅有一个公共点，则k的取值为________．

解析　由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k＝0或k＝1.

答案　0或1　　

考向一　直线与圆锥曲线的位置关系

【例1】►（2011·合肥模拟）设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（　　）．

A. B．[－2,2]

C．[－1,1] D．[－4,4]

[审题视点]设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得．

解析　由题意得Q（－2,0）．设l的方程为y＝k（x＋2），代入y2＝8x得k2x2＋4（k2－2）x＋4k2＝0，∴当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ＝16（k2－2）2－16k4≥0，即k2≤1，∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1.

答案　C

研究直线和圆锥曲线的位置关系