解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型.doc

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解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

总论：

常用的八种方法

1、定义法

2、韦达定理法

3、设而不求点差法

4、弦长公式法

5、数形结合法

6、参数法（点参数、K参数、角参数）

7、代入法中的顺序

8、充分利用曲线系方程法

七种常规题型

（1）中点弦问题

（2）焦点三角形问题

（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

（6）存在两点关于直线对称问题

（7）两线段垂直问题

常用的八种方法

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r1+r2=2a。

第二定义中，r1=ed1r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：

第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法

解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A（x1,y1）,B（x2,y2）,弦AB中点为M（x0,y0），将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

（1）与直线相交于A、B，设弦AB中点为M（x0,y0），则有。

（其中K是直线AB的斜率）

（2）与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M（x0,y0）则有（其中K是直线AB的斜率）

（3）y2=2px（p>0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M（x0,y0）,则有2y0k=2p,即y0k=p.（其中K是直线AB的斜率）

4、弦长公式法

弦长公式：

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：

把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

5、数形结合法

解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“”，令=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率……

6、参数法

（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。

如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。

除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y1-1,y1）

（2）斜率为参数

当直线过某一定点P（x0,y0）时，常设此直线为y-y0=k（x-x0），即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。

（3）角参数

当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。

7、代入法中的顺序

这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：

“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。

不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

八、充分利用曲线系方程法

一、定义法【典型例题】

例1、

（1）抛物线C:

y2=4x上一点P到点A（3,4）与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________

（2）抛物线C:

y2=4x上一点Q到点B（4,1）与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。

分析：

（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。

（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。

解：

（1）（2，）

连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为即y=2（x-1）,代入y2=4x得P（2,2），（注：

另一交点为（），它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）

（2）（）

过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q（）

点评：

这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例2、F是椭圆的右焦点，A（1,1）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。

（1）的最小值为

（2）的最小值为

分析：

PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。

解：

（1）4-

设另一焦点为，则（-1,0）连A,P

当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4-。

（2）作出右准线l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=，

∴

∴

当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为

例3、动圆M与圆C1:

（x+1）2+y2=36内切,与圆C2:

（x-1）2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。

分析：

作图时，要注意相切时的“图形特征”：

两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。

列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的）。

解：

如图，，

∴

∴（*）

∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为

点评：

得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出，再移项，平方，…相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

例4、△ABC中，B（-5,0）,C（5,0）,且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。

分析：

由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：

sinC-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=·2RsinA

∴

即（*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

∵2a=6，2c=10

∴a=3，c=5，b=4

所求轨迹方程为（x>3）

点评：

要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

分析：

（1）可直接利用抛物线设点，如设A（x1,x12），B（x2，X22），又设AB中点为M（x0y0）用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。

解法一：

设A（x1，x12），B（x2，x22），AB中点M（x0，y0）

①

②

③

则

由①得（x1-x2）2[1+（x1+x2）2]=9

即[（x1+x2）2-4x1x2]·[1+（x1+x2）2]=9④

由②、③得2x1x2=（2x0）2-2y0=4x02-2y0

代入④得[（2x0）2-（8x02-4y0）]·[1+（2x0）2]=9

∴，

≥

当4x02+1=3即时，此时

法二：

如图，

∴，即，

∴，当AB经过焦点F时取得最小值。

∴M到x轴的最短距离为

点评：

解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。

而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。

二、韦达定理法【典型例题】

例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A、B、C、D、设f（m）=,

（1）求f（m）,

（2）求f（m）的最值。

分析：

此题初看很复杂，对f（m）的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防

此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

解：

（1）椭圆中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1（-1,0）

则BC:

y=x+1,代入椭圆方程即（m-1）x2+my2-m（m-1）=0

得（m-1）x2+m（x+1）2-m2+m=0

∴（2m-1）x2+2mx+2m-m2=0

设B（x1,y1）,C（x2,y2）,则x1+x2=-

（2）

∴当m=5时，

当m=2时，

点评：

此题因最终需求，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M（x0,y0）,通过将B、C坐标代入作差，得，将y0=x0+1，k=1代入得，∴，可见

当然，解本题的关键在于对的认识，通过线段在x轴的“投影”发现是解此题的要点。

三、点差法

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：

联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

1.以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。

解：

设直线与椭圆的交点为、

为的中点　　

又、两点在椭圆上，则，

两式相减得

于是

即，故所求直线的方程为，即。

例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。

若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：

这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：

设存在被点平分的弦，且、

则，

，

两式相减，得

故直线

由　消去，得

这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。

评述：

本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。

由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。

（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；

（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。

2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。

解：

设弦端点、，弦的中点，则

，

又，