解三角形专题题型归纳.docx

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《解三角形》知识点、题型与方法归纳

一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）

1．正弦定理及其变形

变式：

2．正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边；

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.

3．余弦定理及其推论

4．余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角；

（2）已知三边.

注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化（这也是正余弦定理的作用），统一成边的形式或角的形式.

5．常用的三角形面积公式

（1）；

（2）（两边夹一角）；

6．三角形中常用结论

（1）

（2）

（3）在中，，所以①；②；

③；④⑤

7．实际问题中的常用角

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）

注：

仰角、俯角、方位角的区别是：

三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：

相对于某一正方向的水平角（如图③）

如：

①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；

②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.

（4）坡度：

坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）

二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）

考点一：

正弦定理、余弦定理的简单应用

1．在中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝（　　）

A．4　　B．2C． D．

2．在中，，则等于（　　）

A．60°B．45°C．120°D．150°

考点二：

利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状

3．设的内角所对的边分别为,若,则的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

4．若△ABC的三个内角满足，则△ABC（　　）

A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

5．在中，若＝，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

考点三：

利用正余弦定理求三角形的面积

6．在中，,,，则面积为（　　）

A． B． C．或 D．或

7．已知的三边长，则的面积为（　　）

A． B． C． D．

考点四：

利用正余弦定理求角

8．在锐角中,角所对的边长分别为.若（　　）

A．B．C．D．

9．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有（　　）

A．无解 B．两解C．一解 D．解的个数不确定

10．在,内角所对的边长分别为且,则（　　）

A．B．C．D．

考点五：

正余弦定理实际应用问题

11．如图：

A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D点需要多长时间？

三、高考真题赏析

1．（2016年山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：

a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.

2．（2016年四川）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.

（I）证明：

；

（II）若，求.

3．（2016年全国I）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（I）求C；

（II）若的面积为，求的周长．

4．（2015高考新课标2）

中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．

（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求和的长．

5．（2015高考四川，理19）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.

（1）证明：

（2）若求的值.

6．（2013级绵阳一诊，19）已知如图，在中，，，点D、E是斜边AB上两点．

（I）当点是线段靠近的一个三等分点时，求的值；

（II）当点在线段上运动时，且，设，试用表示的面积，并求的取值范围．

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