完整版随机过程题库1Word文档下载推荐.docx
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i1
7．时间差；
8．独立增量过程；
9．EX（t2）X（t1）X（t4）
X（t3）
2
10．X2（min{s,t}）
11．t;
t；
12．f（t）
1e1tt
f（t）（12
3）e（123）tt0
0t
0t0
二、
判断题（
每题
2分）
第一
章
1．
gi（t）（i
1,2,
n）是特征函数，gi（t）不是特征函数。
（
）
2．n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。
（）
3．任意随机变量均存在特征函数。
4．gi（t）（i1,2,n）是特征函数，gi（t）是特征函数。
5．设X1,X2,X3,X4是零均值的四维高斯分布随机变量，则有
E（X1X2X3X4）E（X1X2）E（X3X4）+E（X1X3）E（X2X4）+E（X1X4）E（X2X3）（）
6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。
7．独立增量过程是马尔科夫过程。
8．维纳过程是平稳独立增量过程。
9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。
10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。
11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。
12．有限马尔科夫链，若有状态k使limpi（kn）0，则状态k即为正常返的。
13．设iS，若存在正整数n，使得pi（in）0,pi（in1）0,则i非周期。
（）14．有限状态空间马氏链必存在常返状态。
15．i是正常返周期的充要条件是limpi（in）不存在。
（）
16．平稳分布唯一存在的充要条件是：
只有一个基本正常返闭集。
17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。
18．i是正常返周期的充要条件是limpi（in）存在。
19．若ij，则有didj（）
20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态．（）
、判断题
出现正面和反面的概率相等，求
X（t）的一维分布函数F（x,1/2）和F（x,1），X（t）的二维
3．（10分）—（易）设有随机过程
分布函数F（x1,x2;
1/2,1）。
X（t）ABt,t0，其中A与B是相互独立的随机
变量，均服从标准正态分布，求X（t）的一维和二维分布。
4．（10分）—（易）设随机过程X（t）=Vt+b，t∈（0,+∞）,b为常数，V服从正态分布N（0，1）的随机变量，求X（t）的均值函数和相关函数。
5．（10分）—（易）已知随机过程X（t）的均值函数mx（t）和协方差函数Bx（t1,t2），g（t）为普通函数，令Y（t）=X（t）+g（t），求随机过程Y（t）的均值函数和协方差函数。
6．（10分）—（中）设{X（t）,tT}是实正交增量过程，T[0,）,X（0）0,是一服
从标准正态分布的随机变量，若对任一t0,X（t）都与相互独立，求
Y（t）X（t）,t[0,）的协方差函数。
8．（10分）—（难）设有随机过程{X（t）,tT}和常数a，试以X（t）的相关函数表示随
机过程Y（t）X（ta）X（t）,tT的相关函数。
9．（10分）—（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加．在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。
假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：
30—9：
30间无顾客到达商店的概率是多少？
在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少?
10．（15分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程，每个顾客购买商品的
概率为p，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t）内无人购买商品的概率。
11．（15分）—（难）设X1（t）和X2（t）是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程，证明：
Y（t）是具有参数12的泊松过程。
12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居．即
2。
如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一
户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。
k
13．（10分）—（难）在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为pt（k）e,k0,1,2,，
tk!
其中0为常数．如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t内呼叫n次的概率P2t（n）
14．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，
求下列事件的概率：
两个顾客相继到达的时间间隔超过2min
15．（15分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个．每
个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW
和P{W≥2}．
1min内没有车辆通过的概
16．（10分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设率为0.2，求2min内有多于一辆车通过的概率。
17．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，
两个顾客相继到达的时间间隔短于4min
18．（15分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年
或3年的概率分别为1／2、l／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；
订
两年时，可得2元手续费；
订三年时，可得3元手续费.以X（t）记在[0，t]内得到的总手续费，求EX（t）与varX（t）
19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min，求
（1）在5min内到达顾客数
的平均值；
（2）在5min内到达顾客数的方差；
（3）在5min内至少有一个顾客到达的概率．
20．（10分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，
后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率．
21．（15分）—（难）设X（t）和Y（t）（t≥0）是强度分别为X和Y的泊松过程，证明：
在X（t）的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y（t）恰好有k个事件发生的概率为
XY
p。
XYXY
22．（10分）—（中）已知随机游动的转移概率矩阵为
0.50.50
P00.50.5
0.500.5
求三步转移概率矩阵P（3）及当初始分布为
P{X01}P{X02}0,P{X03}1
时，经三步转移后处于状态3的概率。
23．（15分）—（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放
3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内
取出的球放入甲盒中），以X（n）表示经过n次交换后甲盒中红球数，则{X（n），n≥0}为齐次马尔可夫链，求
（1）一步转移概率矩阵；
（2）证明：
{X（n），n≥0}是遍历链；
（3）求lnimPij（n）,j0,1,2。
24．（10分）—（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：
0.8
0.1
PT（0）（0.4,0.2,0.4）
P0.1
0.7
0.2
0.6
求下一、二个月的销售状态分布。
25．（15分）—
（难）设马尔可夫链的状态空间
I＝{1，
2，⋯，
7}，转移概率矩阵为
0.4
P0
0.5
0.3
求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
26．（15分）—（难）设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I={1，2，3，4}是按BOD浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单
位）为
P
27．（10分）—
（易）设马尔可夫链的状态空间
I＝{0，
1，2，3}，转移概率矩阵为
1/2
1/4
1/4
1
求状态空间的分解。
28．（15分）—
（难）
设马尔可夫链的状态空间为
I＝｛1
，2，3，4}．转移概率矩阵为
1/3
2/3
1/4
讨论limpi（1n）n
29．（10分）—（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为
1/21/20P1/201/201/21/2
求其平稳分布。
30．（15分）—（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p，乙胜的概率是
q，和局的概率为r，且p+q+r=1．设每局比赛胜者记1分，负者记一1分．和局记零分。
当有一人获得2分时比赛结束．以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数，则{Xn,n1}是齐次马尔可夫链．
（1）写出状态空间I；
（2）求出二步转移概率矩阵；
（3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率．
31．（10分）—（中）（天气预报问题）设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关．又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为，规
定有雨天气为状态0，无雨天气为状态l。
因此问题是两个状态的马尔可夫链．设
0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率．
32．（10分）—（中）设{Xn,n1}是一个马尔可夫链，其状态空间I={a，b，c}，转移概
率矩阵为
3/5
2/5
2）P{Xn2c|Xnb}
33．（15分）—（难）设马尔可夫链{Xn,n
0}的状态空间
I＝{1，2，⋯，6}，转移概率
1000
0001
001001/300
0000
0001/2
矩阵为
00
1/31/3
10
01/2
试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。
三、大题
1．解：
引入随机变量Xi
i1,2
q
p
itXi
it0
it1it
i（t）EeitXi
eq
eppe
n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）
q⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）
XXi~B（n,p）i1
4分）
it（Xi）
（t）EeitXEei1
EeitXi
it
（pe
q）
6分）
8分）
（0）iEX
11F（;
x）
x
其分布函数为
x1
22
同理，当t=1
时Ｘ
（1）的分布列为
PX
（1）
F（1;
x）12
x2
1）当t=1/2时，X（1/2）的分布列为PX
（1）02
2）由于在不同时刻投币是相互独立的，故在
故联合分布函数为
10分）
2．解：
依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2
PX（12）1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）
1PX
（1）2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）
PX（）
0,
X
（1）
X
（1）2
1,
1PX（）
X
（1）2
4
t=1/2，t=1时的联合分布列为
orx11and1x22
1x11andx22
E[X（t）]E（A）E（B）t0
D[X（t）]D（A）D（B）t21t2
所以X（t）服从正态分布N（0,1t2）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）
其次任意固定的t1,t2T,X（t1）ABt1,X（t2）ABt2
则依n维正态随机向量的性质，X（t1）,X（t2）服从二维正态分布，且
E[X（t1）]E[X（t2）]0
D[X（t1）]1t12D[X（t2）]1t22
Cov（X（t1）,X（t2））E[X（t1）X（t2）]1t1t2
EV2t1t2V（t1t2）bb2t1t2b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）5．解：
mY（t）EY（t）E[X（t）g（t）]mX（t）g（t）
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）BY（t1,t2）RY（t1,t2）mY（t1）mY（t2）
EY（t1）Y（t2）mY（t1）mY（t2）
E[X（t1）g（t1）][X（t2）g（t2）][mX（t1）g（t1）][mX（t2）g（t2）]RX（t1,t2）mX（t1）mX（t2）BX（t1,t2）
6．解：
因为{X（t）,tT}是实正交增量过程，故E[X（t）]0
E[Y（t）]E[X（t）]E0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）又因为t0,X（t）都与相互独立
Cov[Y（s）,Y（t）]E[Y（s）Y（t）]E{[X（s）][X（t）]}⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）2
E[X（s）X（t）]E[X（s）]E[X（t）]E2
Cov[X（s）,X（t）]1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）
X2（min{s,t}）1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）
7．解：
利用数学期望的性质可得，
CZ（s,t）E（XYs）（XYs）（XYt）（XYt）⋯⋯⋯⋯⋯（2分）
E（X
X）（YsY
s）（X
X）（YtYt）
E（X
X）2E（X
X）t（Y
Y）
X）s（Y
Y）Est（YY）2⋯⋯
⋯⋯（8分）
DX（s
t）Cov（X,Y）
stDY
12（st）st22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）
8．解：
RY（t1,t2）E{[X（t1a）X（t1）][X（t2a）X（t2）]}⋯⋯⋯⋯⋯（2分）
E[X（t1a）X（t2a）]E[X（t1a）X（t2）]E[X（t1）X（t2a）]E[X（t1）X（t2）]
RX（t1a,t2a）RX（t1a,t2）RX（t1,t2a）RX（t1,t2）⋯⋯⋯⋯（10分）
9．解：
根据题意知顾客的到达率为
55t
t3
（t）
20
3
t5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
3分）
2（t
5）5
t9
mX（1.5）mX
（0.5）
1.5
（5
5t）dt10
P{X（1.5）X
0}e
10．解：
设{X（t）,t
0}表示到达商店的顾客数，
i表示第i个顾客购物与否，
即
1第i个顾客购物
0第i个顾客不购物
则由题意知i独立同分布．且与X（t）独立
P（i1）p,P（i0）1p
X（t）
因此，Y（t）i是复合泊松过程，表示（0，t）内购买商品的顾客数，⋯⋯⋯（5分）i1
由题意求
Yi是独立同分布的随机变量，其分布为
服从参数为的指数分布，
X（t）
Yi
6
15
EYi165
243
EYi2463
18．解：
设
Z（t）为在［0，t］内来到的顾客数，Z（t）为参数6的齐次泊松过程，
由题意知，
Z（t）
Yi为［0，t］内得到的总手续费，是一个复合泊松过程
（5分）
EY1
12
Y
i是每个顾客订阅年限的概率分布，且Yi独立同分布，
2121
EY12
1222
32
23
EX（t）
EZ（t）EY1
6t
10t
VarX（t）VarZ（t）EY12
20t
15分）
19．解：
N（t）表示在[0，t）内到达的顾客数，显然
{N（t）,t≥0}是泊松过程，
2，则当
t=2时，N（5）服从泊松过程
P{N（5）k}
（25）k25ek!
k0,1,2,
5分）
20．
故E[N（5）]10;
D[N（5）]10
P{N（5）1}
1P{N（5）0}1
e10
解：
因为维修次数与使用时间有关，
所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数
1/2.5
t10
则（10）
（t）dt
51
dt
2.5
101
52
4.5
P{N（10）
N（0）
1}e
4.5!
1!
21．证明：
设X（t）
的两个相邻事件的时间间隔为
，依独立性有
P{[Y（t
）Y（t）]k}（Yk!
）ek!
而X（t）的不同到达时刻的概率密度函数为
Xe
others
（
Y）k
eY
X
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