线性代数证明题Word文件下载.docx
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=-E+A
=-(E+A)=-E+A
∴A+E=0⇒A-(-1)E=0.∴λ=-1是A的特征值.
推出A-(-1)E=A+AAT(2分)=-E+AT(2分)=-E+A(2分)推出A-(-1)E=0并说明λ=-1是A的特征值(2分).
----------------------------------------------------------------------------1、试题序号:
3232、题型:
证明题
3、难度级别:
4
第五章相似矩阵及二次型5、分值:
10分钟
二次型的正定性8、试题内容:
已知A,B均为n阶正定矩阵,试证明:
分块矩阵9、答案内容:
⎛A⎝0
0⎫
⎪也为正定矩阵.B⎭
证明
A,B是正定矩阵,∴A,B是对称矩阵.⎛A∴⎝0⎛A∴⎝0
0⎫⎛AT⎪=TB⎭⎝0
0⎫⎛A
=T⎪
B⎭⎝0
0⎫⎪.B⎭
⎪是对称矩阵.B⎭
令f=(X1
AT⎛X2)
⎝00⎫⎛X1⎫⎛A
此为⎪⎪
B⎭⎝X2⎭⎝00⎫
⎪所确定的二次型.B⎭
⎛X1⎫∀⎪≠0⇒X1,X2中至少有一个不为0,⎝X2⎭
则有f=X1AX1+X2BX2>
0.∴此二次型为正定二次型,⎛A则⎝0
⎪为正定矩阵.B⎭
⎛A0⎫
由题设中条件推出⎪是对称矩阵(2分);
令
0B⎝⎭
A0⎫⎛X1⎫TT⎛TT
f=X1X2X2)≠0推出X1,X2中至少有一个不为零⎪(2分);
由(X1⎪
⎝0B⎭⎝X2⎭
()
TTTT
(2分).则有f=X1AX1+X2BX2>
0,推出f=X1AX1+X2BX2为正定二次型(2分).
因而有⎪为正定矩阵(2分).
0B⎝⎭----------------------------------------------------------------------------
3242、题型:
设A,B均为n阶正定矩阵,试证明:
A+B也为正定矩阵.9、答案内容:
A,B都是正定矩阵,∴A=A,B=B.(A+B)=A+B
=A+B
⇒A+B为对称矩阵.令f=x(A+B)x.∀x≠0,则有f=xAx+xBx.A,B是正定矩阵
∴xAx,xBx是正定二次型.则有f=xAx+xBx>
0.∴f=x(A+B)x为正定二次型.则A+B也为正定矩阵.
由题设中条件推出A+B为对称矩阵(2分);
令f=x(A+B)x(2
分);
∀x≠0⇒f=xTAx+xTBx>
0(2分);
推出f=x(A+B)x为正定二次型(2分);
因
而有A+B为正定矩阵(2分).
3252、题型:
2
第四章向量组的线性相关性5、分值:
向量组的线性关系8、试题内容:
若向量β可由向量组α1,α2,,αr线性表示,但β不能由α1,α2,,αr-1线性表示,试证:
αr可由α1,α2,,αr-1,β线性表示.
9、答案内容:
β可以由α1,α2,αr线性表示,∴存在一组数K1,K2,Kr,使得K1α1+K2α2++Krαr=β.
若Kr=0,则β=K1α1+K2α2++Kr-1αr-1.这与β不能由α1,α2,αr-1线性表示矛盾.∴Kr≠0⇒αr=-
K1Kr
K2Kr
Kr-1Kr
1Kr
α1-α2-αr-1-
β.
∴αr可由α1,α2,αr-1,β线性表示.
由题设中条件令k1α1+k2α2++krαr=β(2分);
假设kr=0推出β不能
由α1,α2,,αr-1线性表示矛盾(2分);
∴kr≠0⇒αr可以由α1,α2,,αr-1,β线性表示(4分).
3262、题型:
向量的线性关系与矩阵的秩8、试题内容:
如果向量组α1,α2,,αs线性无关,试证:
向量组关.
令A=(α1∴R(α1
α,α+α,,α+α++αs线性无
α2α2
αS),B=(α1
α1+α2
α1+α2++αS).
α1,α2,αS线性无关,
αS)=R(A)=S.
⎛10αS)⎝0
110
1⎫⎪1⎪.⎪⎪1⎭
(α1α1+α2
α1+α2++αS)=(α1
α2
⎛10
令C=
⎝0
1⎫⎪1⎪.⎪⎪1⎭
则有B=AC,显然C可逆.
令A=(α1α2αs),B=(α1由题设条件推出R(A)=s(1分);
⎛10令C=
1
1⎫
⎪1
⎪推出B=AC(2分);
推出A=BC-1⇒R(B)≥R(A)=s(2分)⎪⎪1⎭
α1+α2+αs)(1分);
又R(B)≤s⇒R(B)=s⇒α1,α1+α2,α1+αs线性无关(2分).
3272、题型:
奇异矩阵8、试题内容:
已知矩阵A2=E,B2=E,且A+B=0证明:
A+B为奇异矩阵.9、答案内容:
A=E⇒A=±
1,B=E⇒B=±
1.又A+B=0⇒若A=±
1,则B=1.而A(A+B)=AB+AB=B+A.∴A(A+B)B=B+A.∴AA+BB=A+B.
∴-A+B=0,则A+B为奇异矩阵.
由题设中条件推出A=±
1,B=1(1分);
推出A(A+B)B=B+A(3分);
推出AA+BB=B+A(2分);
推出A+B=0⇒A+B为奇异矩阵(2分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号:
3282、题型:
向量组的线性关系与矩阵的秩8、试题内容:
设n维基本单位向量组ε1,ε2,,εn可由n维向量组α1,α2,,αn线性表示,证明:
α1,α2,,αn线性无关.
令A=(α1
αn),且En=(ε1
ε2
εn).a
ε1,ε2,εn可以由α1,α2,,αn线性表示.∴存在一个n阶方阵B,使得En=AB⇒R(A)≥R(En)=n.同时R(A)≤n.
∴R(A)=n⇒α1,α2,,αn线性无关.
令A=(α1
αn),E=(ε1
εn)(2分);
由题设条件推出
存在一个n阶矩阵B(2分);
使得AB=E⇒R(A)=n(4分).
3292、题型:
设α1,α2,,αm线性无关,β1可由α1,α2,,αm线性表示,β2不可由α1,α2,,αm线性表示,证明:
α1,α2,,αm,λβ1+β2线性无关(其中λ为常数).9、答案内容:
β1=k1α1+k2α2+kmαm,
∴(α1
αm
λβ1+β2)(α1
β2).
假设R(α1
α2αM
β2)≤m,则有
α1,α2,,αm,β2线性相关,因而与β2不能由α1,α2,,αm线性表示矛盾.∴R(α1
β2)>
m,∴R(α1
λβ1+β2)=m+1
∴α1,α2,,αm,λβ1+β2线性无关.
10(α1R(α1
、α2评分细则:
αmλβ1+β2)(α1α2
由
题设αmβ2)
中(2
条分
件);
推假
出设
α
β
∴R(α1α2
推出α1,α2,αm,λβ1+β2线性无关(1分).1、试题序号:
3302、题型:
向量组与矩阵的秩
β2能由α1,α2,αm线性表示,与题设矛盾
(2)≤m由题设推出2
αmβ2)>
m推出R(α1α2αmλβ1+β)2=m+1(3
----------------------------------------------------------------------------
8、试题内容:
设A为n⨯m矩阵,B为m⨯n矩阵,n
A为n⨯m矩阵,B为m⨯n矩阵,且AB=E,E为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有R(B)≥R(E)=n.
又n
∴B的列向量组线性无关.
由题设推出R(B)≥R(E)=n(2分);
又有题设中n
3312、题型:
设α1,α2,,αn-1为n-1个线性无关的n维列向量,η1,η2与α1,α2,,αn-1均正交,证明:
η1,η2线性相关.
η1,η2分别与α1,α2,,αn-1均正交,
⎛η1T⎫∴T⎪(α1
⎝η2⎭
αn-1)=⎪
⎝0⎭
⎛0⎫
令A=(α1
⎛η1T⎫
αn-1),B=T⎪,BA=0⇒R(A)=n-1⇒R(B)≤1
∴η1,η2线性相关.
(2(1
αn-1),B=(η1η2)(1分);
由题设中条件推得
(1(1
若分
);
若
BA=0⇒R(A)+R(B)≤nR(B)=0⇒η1=0,η2=0
∴R(A)=n-1⇒R(B)≤1分
∴η1,η2
线性相关
R(B)=1⇒R(η1η2)=1
3322、题型:
正交向量组8、试题内容:
已知n阶实矩阵A为正交矩阵,α1,α2,,αn为n维正交单位向量组,证明:
Aα1,Aα2,,Aαn也是n维正交单位向量组.
A是阶正交矩阵,则有
α1,α2,,αn是维正交向量组
∴αi≠0,αiαj=0,i≠j
(Aαi)
(Aα)=α
j
Ti
AAαj=αiα=0
TT
∴Aα1,Aα2,Aαn是正交向量组.
由题设中条件推出αi≠0,αiαj=0,i≠j(2
TTTTT
(Aαi)(Aαj)=αiAAαj=αiEαj=αiαj=0(2分);
αi≠0且A可逆,推得Aαi≠0(2分);
推得Aα1,Aα2,,Aαn是正交向量组(2分).
3332、题型:
向量组的秩与方程组的解8、试题内容:
设α1,α2,,αs是Ax=0的一个基础解系,β不是Ax=0的解,证明:
β,β+α1,β+α2,,β+αs线性无关.
假设R(β
α1α2
αs)
∴R(βR(β
αs)=s+1
β+α1
β+αs)=s+1
即β,β+α1,β+αs线性无关.10、评分细则:
由题设推出R(β设R(βα1是Ax=0
β+α1β+αs)=R(βα1αs)(2分);
假
∴β,β+α1,,β+αs线性无关(2分).
3342、题型:
矩阵的秩与方程组的解8、试题内容:
设A为n阶矩阵,若Ax=0只有零解,证明:
方程组Akx=0也只有零解,其中k为正整数.
Ax=0只有零解⇒R(A)=n
A为n阶矩阵,
∴A则A
k
可逆⇔A≠0.
=A≠0
即Ak为可逆矩阵
∴R(A
)=n⇒
Ax=0只有零解.
由题设推出R(A)=n⇒A可逆(3分);
推出A=A
≠0(2分);
推得
R(A
Ax=0只有零解(3分).
3352、题型:
向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解
设A是m⨯n矩阵,D是m⨯n矩阵,B为m⨯m矩阵,求证:
若B可逆且BA的行向量的转置都是Dx=0的解,则A的每个行向量的转置也都是该方程组的解.9、答案内容:
设A的行向量组为α1,α2,,αm(I)
设B的行向量组为β1,β2,,βm(II)则向量组(I)与(II)均为n维向量组
BA=C,B可逆⇒A=BC
-1
令B
⎛k11k21=
⎝km1
k12k22km2
k1m⎫
⎪k2m
⎪,则有⎪
⎪kmm⎭⎫⎛β⎪km2β
⎪⎪
⎪kmm⎭⎝βmk
m1
⎛α1α2
⎝αm
⎫⎛k11⎪
k⎪=21⎪⎪⎭⎝km1
kkkm2
1222
⎫1⎪⎪2⎪⎪⎭
∴向量组(I)可以由(II)线性表示
向量组(II)是Dx=0的解
∴向量组(I)也是Dx=0的解
令A的行向量组α1,α2,,αm(I),C的行向量组为β1,β2,,βm(II)(1分);
BA=C⇒A=BC(2分);
⎛α1α2推得⎝αm
k1m⎫⎛β1
⎪k2mβ
⎪2⎪
⎪kmm⎭⎝βm
⎪,B-1=21⎪⎪⎭⎝km1
⎪(2分)⎪
⎪km2⎭
所以(I)可以由(II)线性表示(2分);
由(II)是Dx=0的解推出(I)也是Dx=0的解(1分).----------------------------------------------------------------------------1、试题序号:
3362、题型:
向量组的线性关系与方程组的基础解系8、试题内容:
设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,,ηn-r是其导出组的一个基础解系,η是Ax=b的一个解,证明:
η,η1,η2,,ηn-r线性无关.9、答案内容:
假设η,η1,η2,,ηn-r线性相关,
η1,η2,,ηn-r是Ax=0的基础解系,∴η1,η2,,ηn-r是线性无关的.
由以上可得η可以由η1,η2,,ηn-r线性表示.则η是Ax=0的解,与η是Ax=b的解矛盾.
∴假设不成立,即η,η1,η2,,ηn-r线性无关.
假设η,η1,η2,ηn-r线性相关,由题设推得η可以由η1,η2,ηr-1线性表示(3分);
所以η是Ax=0的解与η是Ax=b的解矛盾(3分);
所以η,η1,η2,ηn-r线性无关(2分).
3372、题型:
正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵8、试题内容:
设A*为A的伴随矩阵,若A为正定的,试证