立体几何测试题与参考答案.doc

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立体几何测试题

1．[原创]以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是（）

A．球的三视图总为全等的圆

B．正方体的三个视图总是正三个全等的正方形

C．水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形

D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

2．[原创]圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是（）

A． B． C． D．

3．正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是（）。

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

4．[改编]将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）

A． B． C． D．

5．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）

A．75° B．60° C．45° D．30°

6．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的侧面积为（）

A．24B．12　　　C．　D．

7．设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若，则； ②若l上两点到的距离相等，则；

③若 ④若

其中正确的命题是 （）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

8．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）。

A．BC//平面PDFB．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC

9．[原创]一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）

A.B.C.D.

10．（文科）如图1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是（）。

A． B． C． D．

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

E

F

G

图1

（理科）甲烷分子结构是：

中心一个碳原子，外围四个氢原子构成四面体，中心碳原子与四个氢原子等距离，且连成四线段，两两所成角为θ，则cosθ值为（）

A．B．　C．D．

11．在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为（）

A．B．C．D．

12．[改编]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离是的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是（）

A．BC．D．

13．正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则P点到面ABC的距离是

14．[改编]（文科）三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是6，8，10，则OP的长为。

（理科）已长方体的全面积是8，则其对角线长的最小值是

P

A

B

D

C

M

图2

15．如图2，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，

底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足

时，平面MBD平面PCD．

16．在空间中：

①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．

以上两个命题中，逆命题为真命题的是．（把符合要求的命题序号都填上）

17．[原创]如图3所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？

图3

18．矩形中，，平面，边上存在点，使得，求的取值范围．

图4

19．如图4，在三棱锥P-ABC中，，　，　点Ｏ，Ｄ分别是的中点，底面.　

（1）求证//平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值的大小．

A

B

C

D

D1

C1

B1

A1

图5

20．（文科）如图5，已知直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB//CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的余弦值。

A

B

C

D

F

A1

B1

C1

D1

图6

（理科）如图6，在棱长，的长方体中，点E是平面BCC1B1上的点，点F是CD的中点．

（1）试求平面AB1F的法向量；

（2）试确定E的位置，使平面。

21．[改编]如图7所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点．

（1）求二面角-MN-B的正切值；

A

B

C

M

D

N

P

图7

（2）画出一个正方体的表面展开图，使其满足“有4个正方形相连成一个长方形”这一条件，并求展开图中P、B两点间的距离（设正方体的棱长为1）.

22．一只小船以10m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20m/s的速度前进（如图8），现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处（其中PQ⊥水面），求小船与汽车间的最短距离为.（不考虑汽车与小船本身的大小）．

图8

P

Q

参考答案：

1．选A。

画几何体的三视图要考虑视角，对于球无论选择怎样的视角，其三个视图均为全等的圆。

2．选C。

圆柱的底面积为S，则底面半径，底面圆的周长是，故侧面积。

3．选D。

通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形。

A

B

C

D

S

第5题图

O

4．选C。

正方体削成最大的球，即正方体棱长为球的直径，即，，故。

5．如图所示，设侧棱与底面所成的角为，则，所以。

6．选A。

由底面边长为2，可知底面半径为2，由勾股定理可知侧棱长为2，所以。

7．选D。

命题①和可能平行；命题②中和相交。

A

B

C

D

第9题图

P

A

B

C

O

第8题图

H

8．选C。

如图所示：

取DF的中点O，易证为二面角的平面角，因为P点在底面上的射影是底面的中心，故不可能为直角，所以平面PDF与平面ABC不垂直。

9．选B。

还原成平面图形为如图所示的直角梯形，且，，，故。

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

E

F

G

第10题（文）图

P

A

B

C

H

O

D

第10题（理）图

10．（文科）如图所示，连结、，则或其补角是异面直线A1E与GF所成的角，由余弦定理：

，所以。

A

B

C

A1

B1

C1

第11题图

（理科）选A。

即正四面体的各顶点与中心连线所成的角，如图，设棱长为1，则有：

，，，设，在中，由得：

，故。

11．设点A到平面的距离为，则由可得：

。

12．曲线在过A的三个面上都是以A为圆心，为半径的四分之一圆弧，所以曲线的总长度为。

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ａ1

Ｂ1

O

Ｐ

第14题图

13．设P点到面ABC的距离为，由体积公式可得：

，故。

14．如图，构造长方体，其中侧面AO，BO，A1O所在的平面即为已知的三个两两垂直的平面，则长方体的长、宽、高分别为6，8，10，而OP的长即为长方体的体对角线的长，所以OP2=36+64+100=200．故。

（理科）设长方体的长、宽、高分别为，则，对角线

15．答案：

BM⊥PC（或DM⊥PC）．底面四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD是菱形，故AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又，所以BD⊥平面PAC，即有PC⊥BD，故要使平面MBD⊥平面PCD，只须BM⊥PC，或DM⊥PC．

16．答案②．①的逆命题是：

“若四点中的任何三点都不共线，则这四点不共面”，为假命题，反例可以找正方形，没有三点共线，但四个顶点共面；②的逆命题是：

“若两条直线是异面直线，那么这两条直线没有公共点”，由异面直线的定义知这个命题正确．

17．解：

；。

因为，故冰淇淋融化了，不会溢出杯子。

18．如图，连结AQ，∵PQ⊥QD，PA⊥QD，PQ∩PA=P，∴QD⊥平面PQA，于是QD⊥AQ，∴在线段BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点，∴,2.

P

A

B

C

D

Q

第18题图

P

A

B

C

D

E

F

O

第19题图

19．

（1）Ｏ、Ｄ分别为、的中点．∴，又平面，，∴平面.

（2），，∴又平面，∴.取中点Ｅ，连结,则平面.作于F,连结,则平面,∴是与平面所成的角．在中，．所以与平面所成的角正弦值为.

A

B

C

D

D1

C1

B1

A1

H

第20题文图

20．（文科）由题意AB∥CD，∴∠C1BA是异面直线BC1与DC所成的角。

连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得AC=。

又在Rt△ACC1中，可得AC1=3。

在梯形ABCD中，过C作CH∥AD交AB于H,得∠CHB=90°，CH=2，HB=3,∴CB=。

又在Rt△CBC1中，可得BC1=，在△ABC1中,cos∠C1BA=，∴∠C1BA=arccos．所以异面直线BC1与DC所成角的余弦值大小为．

A

B

C

D

F

A1

B1

C1

D1

第20题理图

x

y

z

（理）如图，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B1（2，0，3），F（1，2，0），∴，（1，2，0）。

（1）设平面AB1F的一个法向量为，由得即∴，∴可取平面AB1F的一个法向量为．

（2）∵D1（0，2，3），设E（2，y，z），则，由

（1）知，平面AB1F的一个法向量为，∴要使D1E平面AB1F，只须使，∴令，即∴∴当E点坐标为（2，1，时，D1E平面AB1F．

21．A

B

C

M

D

N

P

E

A

B

D

C

C

D

B

P

P

②

①

③

④

第21题

（1）

第21题

（2）

设棱长为1,取MN的中点E,连结BE,正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱AB、BC的中点，∴，∴，∵，∴,∴∠是二面角的平面角.且BE=.

（2）展开图如右图所示.P、B两点间的距离共计4种情况,①PB=；②PB=；③PB=；④PB=.求得其中一个即可.

A

Q

P

B

C

22．设经过时间t汽车在A点，船在B点，如图所示，则AQ=30–20t，BP=40—10t，PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，设小船所在平面为α,AQ,QP确定平面为β,记α∩β=l,由AQ∥α，AQβ得AQ∥l，又AQ⊥PQ，得PQ⊥l，又PQ⊥PB，及l∩PB=P得PQ⊥α.作AC∥PQ，则AC⊥α.连CB，则AC⊥CB，进而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，∴AB2=