立体几何平行垂直问题专题(精品).doc

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立体几何平行、垂直问题专题训练20171027

【基础知识点】

一、平行问题

1．直线与平面平行的判定与性质

定义

判定定理

性质

性质定理

图形

条件

a∥α

结论

a∥α

b∥α

a∩α＝

a∥b

2.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义

定理

图形

条件

α∥β，a⊂β

结论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

平行问题的转化关系：

二、垂直问题

一、直线与平面垂直

1．直线和平面垂直的定义：

直线l与平面α内的都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

2．直线与平面垂直的判定定理及推论

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

推论

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面

3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

4.直线和平面垂直的常用性质

①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．

②垂直于同一个平面的两条直线平行．

③垂直于同一条直线的两平面平行．

二、平面与平面垂直

1．平面与平面垂直的判定定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

2．平面与平面垂直的性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

性质定理

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

【典例探究】

类型一、平行与垂直

例1、如图，已知三棱锥中，为中点，为中点，且△为正三角形。

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求证：

平面平面；

（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积。

A

B

C

A1

B1

C1

M

N

例2.如图，已知三棱柱中，底面，，，，，分别是棱，中点.

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面；

【变式1】.如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点。

（1）求证：

平面；

（2）求证：

平面；

（3）设，求三棱锥的体积。

二、线面平行与垂直的性质

例3、如图4，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．

（1）求证：

平面；

（2）求三棱锥的体积．

例4、如图，四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，（I）求证：

；（II）求三棱锥C—DEG的体积；

（III）AD边上是否存在一点M，使得平面MEG。

若存在，求AM的长；否则，说明理由。

4

4

2

2

4

4

4

正视图

侧视图

俯视图

三、三视图与折叠问题

例5、如图是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图。

若为的中点，求证：

面；

（1）证明：

∥面；

A

B

E

P

D

C

（2）求三棱锥的体积。

【变式】如图1所示，正的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点。

现将沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面BCD（如图2）

（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（2）求三棱锥C-DEF的体积。

四、立体几何中的最值问题

例6.图4，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A=AB=2.

（1）求证:

BC⊥平面A1AC；

（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.

图4

A

B

C

A1

例7.如图，在交AC于点D,现将

（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；

（2）若点P为AB的中点，E为

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