立体几何(几何法)二面角(模型三).doc

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立体几何（几何法）—二面角（模型三）

例1（2011年普通高等学校招生统一考试陕西数学（理）试题（WORD版））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2,BC=,E,F分别是AD,PC的中点。

（Ⅰ）证明：

PC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

解法一：

（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。

∵，四边形ABCD是矩形

∴A,B,C,D,P的坐标为

又E,F分别是AD,PC的中点，

∴

∴,

∴

∴

∴

∴平面

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知平面BEF的法向量,

平面BAP的法向量，

∴=8

设平面BEF与平面BAP的家教为θ，

则，

∴，∴平面BEF与平面BAP的夹角为

解法二：

（Ⅰ）连接PE,EC，在和中，

PA=AB=CD,AE=DE,

∴PE=CE,即是等腰三角形，

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，

又是PC的中点，

∴

又

（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,

又ABCD是矩形，∴AB⊥BC,

∴BC⊥平面BAP，BC⊥PB,

又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF,

∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，

在中，PB=BC,,

所以平面BEF与平面BAP的夹角为