空间中的垂直关系(带答案).doc

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空间中的垂直关系专题训练

知识梳理

一、线线垂直：

如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.

二、线面垂直：

1.定义：

如果一条直线和一个平面相交，并且和这个

平面内的_________________，则称这条直线和这个平

面垂直.也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都.直线l和平面

α互相垂直，记作l⊥α.

2.判定定理：

如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.

推论①：

如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.

推论②：

如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.

3.点到平面的距离：

长度叫做点到平面的距离.

三、面面垂直：

1.定义：

如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作

α⊥β.

2.判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.

3.性质定理：

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.

四、求点面距离的常用方法：

1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.

2.转移法：

借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.

3.体积法：

利用三棱锥的特征转换位置来求解.

题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质

例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

【变式1】已知：

正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．

（Ⅰ）求证：

B1D1⊥AE；

（Ⅱ）求证：

AC∥平面B1DE．

【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．

∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．

又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）

（Ⅱ）证明：

取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵E、F是C1C、B1B的中点，

∴CE∥B1F且CE=B1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E．∵正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴EF∥BC且EF=BC

又∵BC∥AD且BC=AD，∴EF∥AD且EF=AD．∴四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵AF∩CF=C，BE∩ED=E，

∴平面ACF∥平面B1DE．又∵AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．

【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：

FD=2：

1．

（Ⅰ）证明：

EA⊥PB；

（Ⅱ）证明：

BG∥面AFC．

【解答】（Ⅰ）证明：

因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ACD为等边三角形，

又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．

而AB∩PA=A

所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．

（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．

连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，

所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．

而BM∩MG=M

所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．

【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．

（1）证明：

AA1⊥BD

（2）证明：

平面A1BD∥平面CD1B1；

（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．

【解答】

（1）证明：

∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴A1O⊥BD，又∵A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，

∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴AA1⊥BD．

（2）∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，

∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．

（3）∵A1O⊥面ABCD，∴A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，

在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，

∴A1O=，∴V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=

∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．

【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，

点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．

（1）求证：

AE⊥平面BCC1B1

（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；

（3）证明：

B1E⊥AF．

【解答】

（1）∵AB=AC，E是BC的中点，

∴AE⊥BC．

在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥AA1，

∴BB1⊥平面ABC，

∵AE⊂平面ABC，

∴BB1⊥AE，…．（2分）

又∵BB1∩BC=B，…．（3分）

BB1，BC⊂平面BB1C1C，

∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）

（2）由

（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…

在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）

∴=•AE==…（7分）

（3）证明：

连结B1F，由

（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵B1F2=B1E2+EF2，∴B1E⊥EF…．（9分）

又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴B1E⊥平面AEF，…．（11分）

∵AF⊂平面AEF，∴B1E⊥AF．…．（12分）

【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB

（1）求证：

PC⊥BC；

（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；

（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？

若存在，求AM的长；否

则，说明理由．

【解答】

（1）证明：

∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．

又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．

（2）∵BC⊥平面PCD，

∴GC是三棱锥G﹣DEC的高．

∵E是PC的中点，

∴S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．VC﹣DEG=VG﹣DEC=GC•S△DEC=××1=．

（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．

证明：

∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，

∴PA∥平面MEG．

在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．

∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：

A1B⊥AC1

（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E

点的位置；若不存在，请说明理由．

【解答】（Ⅰ）证明：

连接AB1

∵BB1⊥平面A1B1C1

∴B1C1⊥BB1

∵B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1

∴B1C1⊥平面A1B1BA

∴A1B⊥B1C1.又∵A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1

∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1

（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…

∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴A1E⊥BD.又BD∩A1D=D，∴A1E⊥平面A1BD

【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．

（1）求证：

AC⊥BC1；

（2）求证：

AC1∥平面CDB1．

【解答】证明：

（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．

又因为AC=3，BC=4，AB=5，

所以AC2+BC2=AB2，

所以AC⊥BC．

又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥BC1．

（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。

又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．

【变式8】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CD⊥B1D．

（1）证明：

CD⊥B1C1；

（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

【解答】

（1）证明：

由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，

由D为AA1的中点，则DC=DC1，

又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，

则CD⊥DC1，

而CD⊥B1D，B1D∩DC1=D，

则CD⊥平面B1C1D，

由于B1C1⊂平面B1C1D，

故CD⊥B1C1；

（2）解：

由

（1）知，CD⊥B1C1，

且B1C1⊥C1C，则B1C1⊥平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，

V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1=VB1﹣CDA1C1=SCDA1C1•B1C1=וB1C13=B1C13，

V=VABC﹣A1B1C1=AC•BC•CC1=B1C13，则V2=V﹣V1=B1C13=V1，

故这两部分体积的比为1：

1．

【变式9】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB．

（1）求证：

D1E⊥A1C1；

（2）在棱B1C1上确定一点F，使A、E、F、D1四点共面，并求此时B1F的长；

（3）求几何体ABED1D的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：

连结B1D1．因为四边形A1B1C1D1为正方形，

所以A1C1⊥B1D1．

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，

又A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C