福建省南安一中12-13学年高二上学期期中考试(数学文)(必修3+选修1-1).doc
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南安一中2012～2013学年度高二上学期期中考
数学（文）科试卷
本试卷考试内容为：
统计、概率、常用逻辑用语、圆锥曲线与方程。
分第I卷和第II卷，共6页，满分１５０分，考试时间１２０分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。
按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题纸纸面清洁，不破损。
考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。
5．参考公式：
线性回归方程系数公式,
第I卷（选择题共60分）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：
1．椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
2．抛物线的焦点坐标是（）
A．B．C．D．
3．一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）
A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶
4．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
组别
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在上的频率为（）
A．0.13B．0.37C．0.52D．0.68
5．若命题“”为假，且为假，则（）
A．“”为假B．假C．真D．假
6．某单位青年职工、中年职工、老年职工的人数之比为7:
5:
3，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为14人，则样本容量为（）
A．14B．30C．35D．25
7．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（）
A．B．C．D．
8．袋中有大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球,若摸到白球时得2分，摸到黑球时得1分，则3次摸球所得总分为４的概率是（）
A．B．C．D．
9．有下列四个命题：
①“若，则互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题有（）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
10．统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如下表：
广告费用
２
３
５
６
销售额
７
9
１２
若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则数据中的的值应该是（）
A．7.9B．8C．8.1D．9
11．如图，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，A和B是以O（O为坐标原点）为圆心，以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（）
A.B.C.－1D.
12．已知椭圆，过右焦点F作不垂直于轴的弦交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交轴于N，则|NF|∶|AB|等于（）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题，共90分）
二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：
13．命题“对任意的”的否定是.
14．某班有72名学生，现要从中抽取一个容量为6的样本，采用等距系统抽样法抽取，将全体学生随机编号为:
01，02，……,72，并按编号顺序平均分为6组（1－12号，13－24号…），若第二组抽出的号码为16，则第四组抽取的号码为____.
15．在区间内任取两点，则两点之间的距离小于的概率为_____.
16．△ABC中，B（－5，0），C（5，0），且，则点A的轨迹方程.
三．解答题（本大题共6小题，共74分）:
17．（本小题12分）已知命题,,若非是非的充分不必要条件，求的取值范围。
18．（本小题12分）已知抛物线C：
过点A
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线过定点，斜率为，当取何值时，直线与抛物线C只有一个公共点。
19．（本小题12分）已知，且点A和点B都在椭圆内部，
（1）请列出有序数组的所有可能结果；
（2）记“使得成立的”为事件A，求事件A发生的概率。
20．（本小题12分）下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限和所支出的维修费用（万元）的几组对照数据：
（年）
（万元）
（1）若知道对呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）已知工厂技改前该型号设备使用10年的维修费用为9万元．试根据
（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低多少?
21．（本小题12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：
生产能力分组
人数
4
8
5
3
表2：
生产能力分组
人数
6
y
36
18
（1）先确定，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。
就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？
（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）（注意:
本题请在答题卡上作图）
（2）分别估计类工人和类工人生产能力的众数、中位数和平均数。
（精确到0.1）
22．（本小题14分）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？
若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由。
y
x
o
S
B
D
A
M
N
南安一中2012～2013学年度高二上学期期中考
数学（文）科试卷答案
命题者：
苏浩洋
一、选择题：
AADDBBBCCBCA
二、填空题：
13.存在14.40
15.16.
三、解答题
17.解：
，令A=[-2,10]；
令B=[1-a,1+a]
非是非的充分不必要条件，即是的必要不充分条件，
解得：
18.解：
（I）将（1，-2）代入，得，
所以p=2；故所求的抛物线C的方程为
（2）由得：
，
①当时，代入得，
这时直线与抛物线C相交，只有一个公共点
②当时，，时
直线与抛物线C相切，只有一个公共点
综上，当时，直线与抛物线C只有一个公共点。
19.解：
∵点A在椭圆内且，
又点B在椭圆内且，
∴有序数组的所有可能结果为：
（0,0），（0,1），（0,2），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2），（3,0），（3,1），（3,2）共12个基本事件。
由即
故事件A包含的基本事件为（0,1）、（1,0）、（2,1）共3个。
∴P（A）=
答：
事件A发生的概率为
20.解：
（1）
;
所求的回归方程为
（2）当=10时,，
预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低（万元）
答：
线性回归方程为；预测该型号设备技改后使用10年的维修费用比技改前降低1.65万元。
21.解：
（1）类工人中和类工人中分别抽查25名和75名。
由，得；，得。
频率分布直方图如下：
从直方图可以判断：
类工人中个体间的差异程度更小。
（2）A类工人生产能力的众数、B类工人生产能力的众数的估计值为115，135；
A类工人生产能力的中位数、B类工人生产能力的中位数的估计值为121，134.6
，
A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8。
22.解：
（I）；故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而
由得0
设则得，
从而即又
由得
故
又
当且仅当，即时等号成立。
时，线段的长度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，
此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线
则由解得或
当时，得，，故有2个不同的交点；
当时，得，，故没有交点；
综上：
当线段MN的长度最小时，在椭圆上存在2个不同的点，使得的面积为
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