福建省福州八县(市)一中2012-2013学年高二上学期期末联考数学(理)试题.doc
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2012-2013学年度第一学期八县（市）一中期末考
高二年级数学（理科）试卷
命题学校：
福清一中
完卷时间：
120分钟满分：
150分
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“若ab＝0，则a=0或b=0”的否命题是（ ）
A．若ab=0，则a≠0或b≠0B．若ab=0，则a≠0且b≠0
C．若ab≠0，则a≠0或b≠0D．若ab≠0，则a≠0且b≠0
2．已知△ABC的顶点A（1，－1，1），B（5，6，2），C（1，m，－1），若∠ACB=90，则m等于（ ）
A．0 B．5 C．0或5D．不存在
3．已知方程，该方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．若平面α的一个法向量n＝（2,2,1），直线l的一个方向向量为a＝（1,－1,－4），则l与α所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．－D．±
5．过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为（ ）
A．4 B．8C．16 D．12
6．若a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），c＝（1，4，4），且a、b、c共面，则λ＝（ ）
A．1B．－1 C．1或2D．±1
7．已知命题p：
x²∈{x|}，则Øp是（ ）
A．x∈{x|}B．x²∈{x|}C．x²∉{x||}D．x²∉{x|}
8．下列有关双曲线的命题中，叙述正确的是（ ）
A．渐近线方程y=±x B．离心率e=
C．顶点（0，±） D．焦点（±，0）
9．已知经过点M（4，0）的直线交抛物线于A、B两点，则以线段AB为直径的圆与原点的位置关系是（ ）
A．原点在圆内 B．原点在圆上C．原点在圆外D．不能确定
10．设，下列给出三个命题:
①“存在，使得对任意的，都有；
②“任意，存在使得”；
③存在两个无理数，使得为有理数．其中真命题的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、填空题：
本大题共5小题，每小题4分，共20分。
把正确答案填在答卷的相应位置上。
11．设抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标是
12．直线与双曲线恰有一个交点，则的取值集合是[来源:
高[考∴试﹤题∴库GkStK]
13．已知经过椭圆左焦点F的一条直线交椭圆于A、B两点，那么线段长的最小值为
14．已知正四面体A-BCD的棱长为1，O为底面BCD的中心，则=
15．经过点P（4,1）的直线l交双曲线于M、N两点，若点P恰为线段MN中点，则直线l的方程为___________________．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分13分）已知，设命题：
关于的不等式有解；命题：
直线与抛物线没有公共点．
若命题“”与“”都为真命题，求的取值范围．
17.（本小题满分13分）已知椭圆C：
（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，过原点作直线OP的垂线l交椭圆C于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求△ABP的面积．
18.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2,BC=,E,F分别是AD,PC的中点．试建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
A
B
C
D
E
F
P
（1）证明：
PC⊥平面BEF；
（2）求平面PAD与平面BEF所成角．
19.（本小题满分13分）平面直角坐标系中，O为原点，给定两点A（1，0）、
B（0，-2），点C满足，其中α、β∈R，且α-2β=1，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线（a＞0,b＞0）交于两点M、N，且，求双曲线方程．
20．（本小题满分14分）如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF，[来源:
GkStK.Com]
．
A
B
C
D
E
F
（1）求证：
BE//平面ADF；
（2）若矩形ABCD的一个边AB=，EF=，则另一
边BC的长为何值时，点A到平面BEF的距离为？
21．（本小题满分14分）如图所示，过抛物线的对称轴上一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点．
（1）求证：
；
（2）若，且，求证：
．
八县（市）一中高二年级期末考数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
C
B
B
A
D
A
B
A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.（0，-1）12.{0，1，-1}13.214.15.4x-3y-13=0
三、解答题（本大题共6小题，16-19每小题13分，20-21每小题14分，共80分）
16.（本小题满分13分）
解：
由已知关于的不等式有解
，解得或………………………………5分
当或时，P是正确的…………………6分
∵直线①与抛物线②没有公共点,
联立①、②，消去得……7分
令，解得
因此，当时，Q是正确的……………………10分
∵与都为真命题
∴假且真，画数轴可得：
…………12分
∴实数m的取值范围为…………13分
17.（本小题满分13分）
解：
（1）由题意：
；①………1分
左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为：
．②……3分
由①②可解得：
．……………6分
∴所求椭圆C的方程为：
．………………7分
（2）易得直线OP的方程：
y＝x，即x-2y=0
因直线l过原点且垂直于直线OP，故直线l的方程：
2x+y=0………8分
由得：
.∴………………10分
y
x
z
A
B
C
D
E
F
P
∴=………………11分
又
∴△ABP的面积S=………………13分
18.（本小题满分13分）
解：
（1）如图，建立空间直角坐标系A-xyz.………………1分
∵，四边形ABCD是矩形.
∴，，，
………………2分
又E,F分别是AD,PC的中点，[来源:
学优高考网GkStK]
∴
∴,…………4分
∴，分
∴…………6
又∵
∴平面…………………………8分
（2）由
（1）知平面BEF的法向量：
平面BEF的法向量：
…………10分
设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，
则，……12分
∴，∴平面BEF与平面BAP的所成角为…………13分
19.（本小题满分13分）
解:
（1）设C（x，y），因为=α+β，
则（x，y）=α（1，0）+β（0，-2）………………………2分
∴∵α-2β=1,∴x+y=1.…………………4分
即点C的轨迹方程为x+y=1.………………………5分
（2）由得：
………………6分
由题意,得a2-1≠0，设M（x1，y1），N（x2，y2）,
则：
x1+x2=，x1x2=.……………………………8分
因为，=0，
即x1x2+y1y2=0,………………9分
x1x2+（1-x2）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2
A
B
C
D
E
M
F
x
y
z
=1=0,………………11分
即1-3a2=0,得
∴双曲线方程为………………13分
20.（本小题满分14分）
解：
（1）法1：
过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM．
因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．
可得EM=CD且EM//CD，
于是四边形BEMA也是平行四边形，
所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，
所以BE//平面ADF．………………………5分
法2：
以直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DF为z轴，
建立空间直角坐标系．…………1分[来源:
高[考∴试﹤题∴库]
则平面ADF的一个法向量为．
设AB=a，BC=b，CE=c，
则点B、E的坐标分别为（b，a，0）和（0，a，c），……………3分
那么向量．
可知，得，
而直线BE在平面ADF的外面，所以BE//平面ADF．………………………6分
（2）由EF=，EM=AB=，得FM=3且．
由可得FD=4，从而得CE=1．………………………7分
设BC=a，则点B的坐标为（a，，0）．
又点E、F的坐标分别为（0，，1）和（0，0，4），
所以，．…………………9分
设平面BEF的一个法向量为，
则，取，得．……11分
易知向量，设点A到平面BEF的距离为d：
则……12分
由已知点A到平面BEF的距离为，
所以，可得．………13分
所以当另一边BC的长为时，点A到平面BEF的距离为……………14分
21.（本小题满分14分）
解：
（1）设方程为：
，
由得，………………3分
所以………………………5分
（2）,得（-,m-）=（,-m）
∴=-，即，………………6分
由，
得………………………8分
又∵，[来源:
高[考∴试﹤题∴库GkStK]
从而，………………………………9分
把代入上式并化简得，……10分
∴，……………………11分
则，
所以或，而显然，…………………13分
所以．……………………………14分
高:
考α试ω题∠库
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